Guía del examen general de conocimientos matemáticos para maestría en ciencias cinvestav

Cuadernos de trabajo (1995) 1-62
Impreso en México. Derechos reservados © 1995 por CINVESTAV (ISBN 9977-64-769-0)

Guía de problemas Examen general de conocimientos
Ricardo Cantoral Uriza Francisco Cordero Osorio Rosa María Farfán Márquez Asuman Oktaç

PRESENTACIÓN Este documento ha sido concebido como un auxiliar para la preparación del examen general de conocimientos matemáticos delprograma de maestría en ciencias del Área de Educación Superior. Este tiene como finalidad principal establecer criterios que garanticen el manejo versátil del saber matemático propio del nivel superior de educación, requisito indispensable para la investigación en nuestra disciplina: la matemática educativa. El examen general de conocimiento puede presentarse desde el ingreso al programa de maestría obien al término del primer año de estudios. Sólo en casos excepcionales habrá una prórroga de un semestre. Por otro lado, esta guía proporciona a los candidatos y estudiantes de recién ingreso, una orientación de lo que ellos habrán de saber en lo que concierne a la profundidad y manejo matemático del contenido. Los temas que aquí se presentan están relacionados con las líneas y proyectos deinvestigación que actualmente se desarrollan en el Área. En consecuencia, esta Guía de problemas evoluciona con dichos proyectos.

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Área de Educación Superior SECCIÓN I

Anexamos un cuestionario para estudiantes en cuya resolución han sido autorizados para usar su calculadora (no gráfica). Primero Analiza el texto como un problema, estudiando: • el lugar y el papel de los contextos en juego(geométrico, algebraico, numérico) y las herramientas que usarán los alumnos en cada uno de estos contextos • la organización del problema, el encadenamiento y la forma de las preguntas • las ayudas y los medios de control dados a los alumnos. Segundo Describe de manera precisa los conocimientos (nivel superior) que este problema permite evaluar, indicando qué conocimientos deben estar disponibles(útiles a iniciativa del estudiante) de los que deben ser móviles (utilizables por el alumno a solicitud del exterior), distinguiendo conocimientos puramente matemáticos de los de orden heurístico y metodológicos. Tercero Propón un texto para el mismo tema, pero para una utilización en tiempo no limitado (por ejemplo para trabajo en casa ó en pequeños grupos de trabajo). Precisa los objetivos deaprendizaje y los conocimientos que pondrán en juego los estudiantes. Todas sus respuestas deben ser precisas y sólidamente argumentadas. Si lo juzgas necesario puedes incluir la resolución de ciertas partes del problema a fin de sostener ó ilustrar su argumentación. En todo esta sección n designará un entero positivo no nulo. A todo entero natural n no nulo, asociamos la función numérica fndefinida sobre (-1, +∞) por la expresión: fn (x) = x ln (1+x). Dedicaremos este problema al estudio de la familia de funciones fn y al de las sucesiones ligadas a estas funciones fn. Designaremos por Cn a la
n

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curva representativa de fn en el eje de coordenadas cuya unidad gráfica es 2 centímetros. PROBLEMA PRIMERO 1. Estudio de las funciones fn (a) Sea hn (x) = nln(1 + x)+ x / (1 + x) Estudia el sentido de variación de hn Utilizando el valor de hn(0), determina el signo de la función hn(x) sobre (-1, +∞) (b) Para toda x perteneciente a (-1, +∞) verifica que f1’ (x) = h1 (x) y que para todo n estrictamente superior a 1, fn’ (x) = xn -1hn(x) (c) Supón n impar. Para todo x perteneciente a (-1, +∞), justifica que fn’ y hn(x) tienen el mismo signo. Diseña entonces latabla de variaciones de la función fn cuando n es impar precisando sus límites en -1 y en +∞. (d) Supón n par. Diseña una tabla de variaciones de fn cuando n es par, y precisa sus límites en -1 y en +∞. (e) Estudia la posición relativa de las curvas C 1 y C 2 (f) Traza estas dos curvas. 2.Estudio de la sucesión. En esta parte, U designa la sucesión de término general Un definida para todo...