Guía Sucesiones Y Series

CALCULO APLICADO, A -01
PROFESOR: HERALDO GONZALEZ SERRANO

1

Guía de ejercicios Nº2: Sucesiones y series
∞

1) Usando la serie geométrica

∑x

n

= 1 + x + x 2 + ... + x n + .. =

n=0

1
convergente si
1− x

x < 1 , de donde obtenemos, por ejemplo
∞

1
, x < 1 y también
1+ x
n =0
∞
1
∑ (−1) n x n = 1 − x 2 + x 4 + ... + (−1) n x n + .. = 1 + x 2 , x < 1 ,
n =0determine una serie de potencias para la función
1
1
a) f ( x) =
diferenciando la serie que representa a
2
1+ x
(1 + x)
x
diferenciando término a término la serie adecuada
b) f ( x) =
(1 +x 2 ) 2
1
c) f ( x) = arctgx integrando término a término (use
)
1+ x2
∞
1
Resp. a)
= ∑ (−1) n (n + 1) x n
(1 + x) 2 n =0
∞
x
= ∑ (−1) n−1 nx 2 n −1
b)
22
(1 + x )
n =1

∑ (−1)

nx n = 1 − x + x 2 + ... + (−1) n x n + .. =

x 2 n +1
c) arctgx = ∑ (−1)
2n + 1
n =0
∞

n

2) Determine una representación en serie de potencias para f ( x) = 4 x en a = 1
1
3
3⋅7
3 ⋅7 ⋅ 11
Resp. f ( x) = 4 x = 1 + ( x − 1) − 2
( x − 1) 2 + 3 ( x − 1) 3 − 4
( x − 1) 4 + ..
4
4 ⋅ 2!
4 ⋅ 3!
4 ⋅ 4!
3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ ... ⋅ (4n − 5)
+ ..... + (−1) n−1
( x − 1) n + ...
n
4 ⋅ n!3) Considere la función f ( x) = Lnx
a) Determine una representación en serie de potencias para f ( x) en a = 1
b) Determine el intervalo de convergencia para la serie
c) Calcule Ln(0,9) con 4decimales exactos
( x − 1) 2 ( x − 1) 3
(−1) n −1
+
+ ..... +
( x − 1) n + ...
2
3
n
b) La serie es convergente en el intervalo (0,2)
c) Ln(0,9) ≈ −0,1053 con error menor que 0,000025Resp.a) Lnx = ( x − 1) −

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - FACULTAD DE CIENCIA
DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.

CALCULO APLICADO, A -01
PROFESOR: HERALDO GONZALEZ SERRANO

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4) Considere lafunción f ( x) = cos x
a) Determine una representación en serie de potencias para f ( x) en a =

π
3

b) Determine el intervalo de convergencia para la serie
c) Calcule Ln(0,9) con 4 decimales...