GyT Unidad IV La Geometr A En El Espacio

Universidad Nacional de Asunción

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Educación a Distancia

Geometría y Trigonometría

La Geometría en el Espacio

Material elaborado por

Gustavo Adolfo González Armoa

Campus Universitario
San Lorenzo, Paraguay

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Geometría del espacio
Diedros
Definición 1 Diedro. Ángulo diedro o diedro o ángulo diédrico, es la reunión
de dos semiplanos de mismo origen no contenidos en un mismo plano.

El origen común de los semiplanos es la arista del diedro y los dos semiplanos
son sus caras.

Así, α y β son dos semiplanos del mismo origen r, distintos y no opuestos,

αrβ = α ∪ β.

Figura 1: αrβ = α ∪ βIndicamos también el diedro αrβ por:

αrβ, αβ, di(αrβ), di(αrβ), di(r)

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Definición 2 Secciones de un diedro. Es la intersección de un diedro con
un plano secante a la arista.
Una sección de un diedro es un ángulo plano. En la figura aRb o ab es sección
de αrβ .Figura 2: Secciones de un diedro

Proposición 1 Dos secciones paralelas de un diedro son congruentes.

De hecho, las secciones son dos ángulos de lados con sentidos respectivamente concordantes, y entonces ellos son congruentes.

Figura 3: Secciones de un diedro

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Definición 3 Sección recta o sección normal. Sección recta o sección normal de un diedro es una sección cuyo plano es perpendicular a la arista del
diedro.

Si xy es sección recta de un diedro de arista r, entonces el plano (xy) es
perpendicular a r, esto es, x ⊥ r e y ⊥ r.

En la figura, xRy o xy es sección recta o normal de αrβ = α ∪ β .

Figura 4: Sección normal de un diedroProposición 2 Secciones normales de un mismo diedro son congruentes.

De hecho, dos secciones normales de un mismo diedro son secciones paralelas y, por tanto, son congruentes.

Definición 4 Diedro recto. Un diedro es recto sí, y solamente sí, su sección
normal es un ángulo recto.

Definición 5 Diedro agudo. Un diedro es agudo sí, y solamente sí, su sección normal es un ángulo agudo.

Definición 6 Diedroobtuso. Un diedro es obtuso sí, y solamente sí, su sección normal es un ángulo obtuso.

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Definición 7 Diedros adyacentes. Dos diedros son adyacentes sí, y solamente sí, las secciones normales son ángulos adyacentes.

Figura 5: Plano

perpendicular a rDefinición 8 Diedros opuestos por la arista. Dos diedros son opuestos por
la arista sí, y solamente sí, su secciones normales son ángulos opuestos por
el vértice.

αrβ y α′ rβ ′ son diedros opuestos por
la arista, pues las secciones normales xy y
x′ y ′ son opuestos por el vértice

Figura 6:

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Los Poliedros
Una caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies planas
que ves a tu alrededor, tienen forma poliédrica.

Definición 9 Un cuerpo geométrico cuya superficie se compone de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo.

Elementos de un poliedro

Figura 7: Elementos de un poliedro

1. Caras. Es cadauno de los polígonos que limitan al poliedro.
2. Aristas. Son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una
arista en común.
3. Vértices. Son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres
caras coinciden en un mismo vértice.
4. Ángulos diedros. Son los ángulos formados por cada dos caras que
tienen una arista en común.
5. Ángulos poliédricos. Son los ángulos formados por...