Habilidades Directivas

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A LA ELECTRICIDAD1
ALEJANDRO DOMÍNGUEZ COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL” NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO AGOSTO DE 1984

Introducción
Los presentes apuntes surgieron como una necesidad del curso de Matemáticas I (Álgebra) que se imparte a los alumnos de la carrera de Técnico en ElectrónicaIndustrial en el Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. Estos apuntes tiene la finalidad de hacer ver a los alumnos la importancia de aprender matemáticas para resolver problemas básicos en electricidad en los cuales se presentan sistemas lineales de ecuaciones con dos y tres incógnitas. Los apuntes parten de la suposición de que el alumno conoce la Ley de Ohm: “la diferencia depotencial en un conductor metálico (conductor óhmico) es igual a la resistencia interna de éste por la corriente que fluye en él; es decir, ”. Como comentario final, es importante hacer notar que estos apuntes no pretenden suplantar a algún libro de texto, sino que son un apoyo didáctico para el curso antes mencionado, así como un apoyo para el libro de texto utilizado en él.

Las leyes de KirchhoffEn electricidad existen una serie de problemas prácticos que involucran dos o más cantidades desconocidas que están relacionadas entre sí por ecuaciones de primer grado (lineales). Un ejemplo típico de este tipo de problemas, en los cuales se requiere determinar el valor de dos o más cantidades desconocidas, son los que aparecen al querer encontrar el valor o los valores de las corrientes y/ovoltajes que circulan en una malla (circuito) eléctrica cerrada. Las ecuaciones que hay que resolver provienen de aplicar al circuito eléctrico las Leyes de Kirchhoff:  Primera Ley de Kirchhoff. La suma de las fuerzas electromotrices en una malla cerrada es igual a la suma de las caídas de potencial alrededor de la misma. En otras palabras: la suma de los voltajes alrededor de cualquier circuitocerrado es igual a cero.

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Este documento es una versión transcrita, mejorada y editada del original, el cual fue creado de forma manuscrita debido a la nula accesibilidad del autor a las computadoras y a la no existencia de procesadores de texto apropiados que permitieran la edición de términos matemáticos.

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Segunda Ley de Kirchhoff. La suma de las corrientes quefluyen hacia un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. En otras palabras: La suma de las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero.

Ejemplo 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales
Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y un resistor de . Un amperímetro en el circuito muestra la lectura . Se repite el experimento sustituyendo el resistor depor uno de . En este caso el amperímetro muestra una lectura de . ¿Cuál es el voltaje de la fuente y la resistencia desconocida? (ver Figura 1 y 2, respectivamente) Para resolver este problema se aplicará la Primera Ley de Kirchhoff. Si se recorre el circuito en el sentido de las manecillas del reloj, para el primer y segundo casos se tiene las siguientes ecuaciones respectivamente:

E  (2.5) R (2.5)(4)  0 E  (1) R  (1)(10)  0
Efectuando las operaciones, estas ecuaciones se convierten en:

E  2.5R  10 E  R  10
Existen varias formas o métodos para resolver este par de ecuaciones simultáneas. Los más conocidos son: sustitución, igualación y adición. En cualquier caso, los valores del y no dependen del método elegido; es decir, el método elegido debe conducir a la mismarespuesta arrojada por los otros dos casos restantes: lo único que difiere es el “camino” a recorrer para encontrar la respuesta. Para mostrar esto, se mostrará de Figura 1. Circuitos eléctricos para el primer y segundo casos. forma simultánea los tres métodos.
Método de sustitución De la primera ecuación, despejar Sustituyendo este despeje de en la segunda ecuación, se tiene: ( ) Esto implica que:...