Habilidades para la vida
Páginas: 15 (3567 palabras)
Publicado: 18 de enero de 2015
2
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
1.1 N ÚMEROS REALES
Propiedades de los números reales ᭤ Adición y sustracción ᭤ Multiplicación
y división ᭤ La recta de números reales ᭤ Conjuntos e intervalos ᭤ Valor
absoluto y distancia
Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos
con los números naturales:
1, 2, 3, 4, . . .
Los diferentes tipos de númerosreales
fueron inventados para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los
números naturales se necesitan para
contar, los números negativos para describir una deuda o temperaturas bajo
cero, los números racionales para conceptos como “medio galón de leche,” y
números irracionales para medir ciertas
magnitudes, como la diagonal de un
cuadrado.
Los enteros constan de los númerosnaturales junto con sus negativos y 0:
. . . ,Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Construimos los números racionales al tomar razones de enteros. Entonces, cualquier número racional r puede expresarse como
m
n
0. Como ejemplos, tenemos
r
donde m y n son enteros y n
1
2
3
7
46
1
46
0.17
17
100
(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo queexpresiones como 03 y 00
no están definidas.) También hay números reales, tales como 12, que no se pueden expresar
como una razón entre enteros y por tanto se denominan números irracionales. Se puede
demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales:
3
p2
Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo . Cuando
usamos lapalabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La Figura 1 es un
diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro.
13
15
3
1
2
p
Números racionales
Números irracionales
–21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317
3
œ3 , œ5 , œ2 , π , —
2
3
π
Enteros
Números
naturales
. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Un número decimalperiódico como
F I G U R A 1 El sistema de números reales
x ϭ 3.5474747. . .
es un número racional. Para convertirlo
a una razón entre dos enteros, escribimos
1000x
10x
990x
3547.47474747. . .
35.47474747. . .
3512.0
3512
990 .
Por tanto, x
La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de
10 y luego restar para eliminar la parte
periódica.
Todo número real tiene unarepresentación decimal. Si el número es racional, entonces
su correspondente decimal es periódico.
1
2
157
495
0.5000. . .
0.50
0.3171717. . .
0.317
2
3
0.66666. . .
9
7
1.285714285714. . .
0.6
1.285714
(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre). Si el número es irracional,
la representación decimal no es periódica.
121.414213562373095. . .
p
3.141592653589793. . .
SECCIÓN 1.1
| Números reales 9
Cuando trabajamos con valores absolutos, utilizamos las propiedades siguientes:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Propiedad
Ejemplo
1. 0 a 0
0
0
2. 0 a 0
0
0a0 0b0
4.
0a0
0b0
a
`
b
3
050
a0
3. 0 ab 0
`
30
0
`
Descripción
0
0
50
2#50
0El valor absoluto de un número
siempre es positivo o cero.
Un número y su negativo
tienen el mismo valor absoluto.
20 050
El valor absoluto de un
producto es el producto de los
valores absolutos.
0 12 0
0 30
12
`
3
El valor absoluto de un
cociente es el cociente de los
valores absolutos.
¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números Ϫ2 y 11? De la Figura 10vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea 011 Ϫ (Ϫ2)0 ϭ 13 o
0(Ϫ2) Ϫ 110 ϭ 13. De esta observación hacemos la siguiente definición (vea Figura 11).
| b-a |
13
_2
0
a
11
FIGURA 10
b
F I G U R A 1 1 La longitud de un
segmento de recta es 0 b Ϫ a 0
DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL
Si a y b son números reales, entonces la distancia...
C A P Í T U LO 1
| Fundamentos
1.1 N ÚMEROS REALES
Propiedades de los números reales ᭤ Adición y sustracción ᭤ Multiplicación
y división ᭤ La recta de números reales ᭤ Conjuntos e intervalos ᭤ Valor
absoluto y distancia
Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos
con los números naturales:
1, 2, 3, 4, . . .
Los diferentes tipos de númerosreales
fueron inventados para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los
números naturales se necesitan para
contar, los números negativos para describir una deuda o temperaturas bajo
cero, los números racionales para conceptos como “medio galón de leche,” y
números irracionales para medir ciertas
magnitudes, como la diagonal de un
cuadrado.
Los enteros constan de los númerosnaturales junto con sus negativos y 0:
. . . ,Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Construimos los números racionales al tomar razones de enteros. Entonces, cualquier número racional r puede expresarse como
m
n
0. Como ejemplos, tenemos
r
donde m y n son enteros y n
1
2
3
7
46
1
46
0.17
17
100
(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo queexpresiones como 03 y 00
no están definidas.) También hay números reales, tales como 12, que no se pueden expresar
como una razón entre enteros y por tanto se denominan números irracionales. Se puede
demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales:
3
p2
Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo . Cuando
usamos lapalabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La Figura 1 es un
diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro.
13
15
3
1
2
p
Números racionales
Números irracionales
–21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317
3
œ3 , œ5 , œ2 , π , —
2
3
π
Enteros
Números
naturales
. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Un número decimalperiódico como
F I G U R A 1 El sistema de números reales
x ϭ 3.5474747. . .
es un número racional. Para convertirlo
a una razón entre dos enteros, escribimos
1000x
10x
990x
3547.47474747. . .
35.47474747. . .
3512.0
3512
990 .
Por tanto, x
La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de
10 y luego restar para eliminar la parte
periódica.
Todo número real tiene unarepresentación decimal. Si el número es racional, entonces
su correspondente decimal es periódico.
1
2
157
495
0.5000. . .
0.50
0.3171717. . .
0.317
2
3
0.66666. . .
9
7
1.285714285714. . .
0.6
1.285714
(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre). Si el número es irracional,
la representación decimal no es periódica.
121.414213562373095. . .
p
3.141592653589793. . .
SECCIÓN 1.1
| Números reales 9
Cuando trabajamos con valores absolutos, utilizamos las propiedades siguientes:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Propiedad
Ejemplo
1. 0 a 0
0
0
2. 0 a 0
0
0a0 0b0
4.
0a0
0b0
a
`
b
3
050
a0
3. 0 ab 0
`
30
0
`
Descripción
0
0
50
2#50
0El valor absoluto de un número
siempre es positivo o cero.
Un número y su negativo
tienen el mismo valor absoluto.
20 050
El valor absoluto de un
producto es el producto de los
valores absolutos.
0 12 0
0 30
12
`
3
El valor absoluto de un
cociente es el cociente de los
valores absolutos.
¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números Ϫ2 y 11? De la Figura 10vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea 011 Ϫ (Ϫ2)0 ϭ 13 o
0(Ϫ2) Ϫ 110 ϭ 13. De esta observación hacemos la siguiente definición (vea Figura 11).
| b-a |
13
_2
0
a
11
FIGURA 10
b
F I G U R A 1 1 La longitud de un
segmento de recta es 0 b Ϫ a 0
DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL
Si a y b son números reales, entonces la distancia...
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