Habilitaciones calculo

Universidad Industrial de Santander

Examen Opcional ´ Calculo I
Septiembre 6 de 2010

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Nombre:
Instrucciones:

´ Codigo:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justi caciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices,etc. ´ ´ ´ El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados. Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Evalue los siguientes l´mites, si existen. ´ ı 1 1 a) l´ ım √ − . t→0 t 1+t t 2. b) l´ ım
x→∞

√

9x2 + x − 3x .

c) l´ ım

t2 − 4 . t→2 t3 − 8

´ a) Halle laderivada de la funcion y = cos sen (tan πx). ´ b) Derive la funcion f (x) = ln (x2 − 2x) y encuentre su dominio. ´ c) La curva con ecuacion y 2 = x3 + 3x2 se llama cubica de Tschirnhausen. Encuentre una ´ ´ ´ ecuacion de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, −2). ¿En cuales puntos esta curva tiene una tangente horizontal?

3. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes.Una se dobla para formar un ´ ´ cuadrado y la otra para formar un c´rculo. Como debe cortarse el alambre de modo que el area ı ´ total encerrada sea (a) maxima, y (b) m´nima. ı ´ 4. En la gura se ilustra la gra ca de la ´ derivada f ′ de una funcion f . ´ a) ¿En que intervalos f es creciente o decreciente? ´ ´ b) ¿Para que valores de x la funcion f ´ tiene un maximo local o un m´nimo ı local? ´ c)Trace la gra ca de f ′′ . ´ d) Trace la gra ca posible de f .

˜ Profesores: Adriana Albarrac´n, Alberto Higuera, Claudia Montanez, Daniel Moreno, Duwamg Prada, German Jaimes, Gilberto Arenas, ı ´ Hilda Duarte, Javier Camargo, Jorge Fiallo, Jorge Noriega, Luis Ortiz, Marco T. Mart´nez, Nelson Lopez, Rosana Mart´nez, Rosario Iglesias, William ı ı ´ Gonzalez.

´ Solucion del examen opcional 1. √√ √ 1 1− 1+t 1+ 1+t 1 − (1 + t) 1 1− 1+t √ √ a) l´ ım √ − = l´ ım √ · = l´ √ ım = = l´ ım √ t→0 t 1 + t t→0 t 1 + t t→0 t 1 + t t 1 + 1 + t t→0 t 1 + t 1 + 1 + t −t −1 −1 1 √ √ √ = l´ √ ım = l´ √ ım =√ =− . t→0 t→0 t 1 + t 1 + 1 + t 2 1+t 1+ 1+t 1+0 1+ 1+0 ´ Tambien se puede por L’Hopital. (Cumple las condiciones) √ − 2√1 − 2√1 −1 1 1 1− 1+t 1 1+t 1+0 2 l´ ım √ = l´ ım √ =√ = =− . − = l´ √ ım √t√0 t→0 t 1 + t t→0 t 1 + t t→0 t 1+0 2 1 + t + 2 1+t 1 + 0 + 2 1+0 √ √ √ 9x2 + x − 9x2 9x2 + x + 3x 2 + x − 3x = l´ 2 + x − 3x · √ = l´ √ ım b) l´ ım 9x ım 9x x→∞ x→∞ 9x2 + x + 3x x→∞ 9x2 + x + 3x x 1 1 1 x = l´ ım = l´ ım = = . 2 x→∞ x→∞ 3+3 6 9x 9+ 1 +3 + x + 3x
x2 x2 x x

c) l´ ım

t→2 t3

−4 (t − 2) (t + 2) (t + 2) 2+2 1 = l´ ım = l´ ım 2 = 2 = . 2 + 2t + 4) t→2 (t + 2t + 4) − 8 t→2 (t −2) (t (2 + 2 · 2 + 4) 3 ´ Tambien se puede por L’Hopital. (Cumple las condiciones) t2 − 4 2t 2 2 1 l´ 3 ım = l´ ım 2 = l´ ım = = . t→2 t − 8 t→2 3t t→2 3t 3·2 3 sin (tan πx).

t2

2. ´ a) Halle la derivada de la funcion y = cos y′ = − sin sin (tan πx)
1 2

(sin (tan πx))−1/2 (cos (tan πx)) sec2 πx (π) .

´ b) Derive la funcion f (x) = ln x2 − 2x y encuentre su dominio. (2x − 2) 2 (x − 1)f ′ (x) = 2 = ; Dom {f ′ } = R − {0, 2}; Dom {f } = R − [0, 2] . x − 2x x (x − 2)

´ ´ c) La curva con ecuacion y 2 = x3 + 3x2 se llama cubica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuacion ´ ´ de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, −2). ¿En cuales puntos esta curva tiene una tangente horizontal? Observe que el punto si pertenece a la curva, ya que (−2)2 = (1)3 + 3 (1)2 . Ahora 2 dy 3 (1)2+ 6 (1) 9 2 + 6x =⇒ dy = 3x + 6x =⇒ dy ´ 2y · = 3x = = − , luego la ecuacion de dx dx 2y dx (1,−2) 2 (−2) 4 9 la recta tangente es y + 2 = − (x − 1). 4 3x2 + 6x dy Por otra parte, la curva tiene tangentes horizontales si = = 0 y esto sucede si 3x2 + dx 2y 6x = 0 =⇒ 3x (x + 2) = 0 =⇒ x = 0 ∨ x = −2 =⇒ y 2 = 03 + 3 · 02 = 0 ∨ y 2 = (−2)3 + 3 (−2)2 = 4, luego los punto son P1 (0, 0), P2 (−2, 2)...