Hacer Limites

IES MURILLO

Departamento de Matemáticas

CONTROL ANÁLISIS

1. Calcula:

2x − x

a) lim

x → +∞ 3x2

b) lim

x →2 x3

c) lim

Abril 2009

(4,5 puntos)

2

+ 5x − 1

x2 − 3x + 2

− 5x2 + 11x − 10

x+1 − 2
x2 − 1

x →1

1

⎛ 1 ⎞ x -3
d) lim ⎜
⎟
x →3 ⎝ x - 2 ⎠
e) lim

x → +∞

(

x +1 − x −1

)

2. Escribe razonadamente y representa gráficamente una función con una
discontinuidad evitable en x = 2,una asíntota horizontal en y = -1 y una asíntota
vertical en x = 1.
(1,5 puntos)

3. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = -1

⎧⎪e x +1 si x ≤ −1
f(x) = ⎨ 2
⎪⎩kx − 1 six > −1
Para ese valor de k, representa gráficamente la función f y comprueba que es
continua.
(2 puntos)

4. Estudia la continuidad de la siguiente función y clasifica sus discontinuidades, si lashay:

⎧ 1
⎪ x + 3 si x < −2
⎪
g(x) = ⎨3
si x = −2
⎪ 2
⎪x − 3 si x > −2
⎩

(2 puntos)

IES MURILLO

Departamento de Matemáticas
SOLUCIONES

1. Calcula:

2x x2
2
− 2
−1
2
2x − x2
1
⎛∞⎞
x
x
x
=
a) lim
=lim
=
lim
=−
⎜
⎟
2
2
5 1
x → +∞ 3x + 5x − 1
x → +∞
3
5x 1
⎝ ∞ ⎠ x → +∞ 3x
3+ − 2
+
−
x x
x2 x2 x2

(x − 2)(x − 1) =
⎛0⎞
= ⎜ ⎟ = lim
x →2 x − 5x + 11x − 10
⎝ 0 ⎠ x →2 (x − 2) x2 − 3x + 5
(x − 1) = 2 − 1= 1
= lim 2
x →2 x − 3x + 5
22 − 6 + 5 3

b) lim

x2 − 3x + 2

3

(

2

(

)

Factorizamos: x2 − 3x + 2 = 0 → x =

c) lim

)

x +1 − 2

x →1

(

2− 2 ⎛0⎞
= ⎜ ⎟ = lim
1 −1
⎝ 0 ⎠ x →1

=

2

x −1

2
3±9−8
=
1
2

) ( )
2

(

1
2
1

x +1 − 2
2

-5 +11 -10
2 -6 +10
-3 +5
0

(

)(

x +1 + 2

(x − 1) x + 1 + 2

)

)=

2

x +1 − 2
x −1
= lim 2
=
x →1 (x − 1) x + 1 + 2
x →1 (x − 1) x + 1 + 2

= lim

(2

)

(

)

1
1
1
2
x −1
= lim
=
=
=
x →1 (x − 1)(x + 1) x + 1 + 2
x →1 (x + 1) x + 1 + 2
8
22 2
4 2

= lim

(

)

(

1

) ( )

1

1

1
⎛ 1 ⎞ x -3
⎛
⎞ x -3
− 1⎟
d) lim ⎜
= (1∞ ) = lim ⎜ 1 +
= lim ⎛⎜1 +1 − x + 2 ⎞⎟ x-3 =
⎟
x -2 ⎠
x -2 ⎠
x →3 ⎝ x - 2 ⎠
x →3 ⎝
x →3 ⎝
3−x 1
⋅
x −2 ⎤ x −2 x −3
⎡
⎢⎛
⎞ 3−x ⎥
1
3− x
⎜
lim
⎢
⎥
1 ⎟
x →3 ( x −2)( x −3)
⎛ 3 − x ⎞ x-3
= lim ⎜1 +
= lim ⎢⎜1+ x −2 ⎟ ⎥
=e
=
⎟
x...