Hacer Un Trabajo De Computacion

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

PROYECTO 3. CALCULO III
Profesora:. DORIS HINESTROZA

POLINOMIOS DE INTERPOLACION Y AJUSTE DE CURVAS POR MINIMOS CUADRADOS

En muchas ramas de la ingenieria, de las ciencias naturales y las matemáticas se obtienen un conjunto de datos experimentales (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xk , yk ), ..., (xn , yn )tal que xı = xj (i = j) i, j = 0, 1, ..., n.

Uno de los problemas interesantes que se presenta es tratar de encontrar otros valores que por la medicion no se pueden determinar o inferir otros datos hacia el futuro. Como hacerlo? Hay dos ideas respecto a que hacer cuando se tiene este conjunto de datos medidos. 1. Encontrar una función y = f (x) cuya gráfica coincida con los puntos dados. Esto esencontrar una función f tal que f (xi ) = yi i = 0, 1, 2, ..., n. Ver la gráfica. Generalmente las funciones escogidas como modelo matemático son las siguientes: I. POLINOMIO DE INTERPOLACION Hallar un polinomio de la forma f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn tal que f (xi ) = yi i = 0, 1, 2, ..., n. En este caso el problema consiste en encontrar los coeficientes a0 , a1 , ..., an tal que f (xi) = yi , i = 0, 1, 2, ..., n. Observemos desde el punto de vista del algebra lineal esto es equivalente a seleccionar una funcion en el espaciovectorial de funciones generada por la base {1, x, x2 , ..., xn } que genera el conjunto de polinomios de grado n. Observemos que esto nos lleva a resolver un sistema lineal de ecuaciones de la forma ao + a1 xo + a2 x2 + ... + an xn o o ao + a1 x1 + a2 x2 +... + an xn 1 1 ao + a1 x2 + a2 x2 + ... + an xn 2 2
2 ao + a1 xn + a2 xn + ... + an xn n

= = =

yo y1 y2 . . . yn

=

1

→ → el cual podemos escribir de la forma M − = − donde M es una matriz n × n de la forma a y       ao 1 xo x2 · · · xn yo o o  a1   1 x1 x2 · · · xn   y1  − → 1 1       − → M = . . . . .  a =  .  y b =  . . . . . .   .   .  .  . . . .. . . an 1 xn x2 · · · xn yn n n La matriz M se llama matriz de Vandermonde. El polinomio que surge al resolver el sistema se llama polinomio de interpolacion. En el caso de n = 2, el polinomio de interpolacion se llama spline cuadrático y el caso de n = 3, se llama spline cúbico que son de bastante utilidad en la práctica. Actividad 1. Consulte con los profesores la importancia de los polinomiosde interpolacion. Dè tres puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) con xi = xj y halle la matriz de Vandermonde. Escriba el sistema que obtiene. Resuelvalo y explique que significa su soluciòn. Grafique el polinomio obtenido y señale los puntos dados. Actividad 2. Muestre que el determinante de M es diferente de cero y por lo tanto la matriz es invertible. Esto implica que existe un unico vector aque satisface las condiciones del sistema y por lo tanto un unico polinomio que coincide con las condiciones pedidas. Este polinomio es llamado polinomio de interpolacion (tambien llamado polinomio de lagrange y es unico.). Actividad 3. Considere los siguientes polinomios, llamados polinomios de Lagrange li (x) = (x − xj ) (x − xo )(x − x1 ) · · · (x − xi−1 )(x − xı ) · · · (x − xn ) = (xi − xo)(xi − x1 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xı ) · · · (xi − xn ) j=0 (xi − xo )
i=j n

a. Muestre que el grado del polinomio li es de grado n. y escriba los polinomios lo (x), l1 (x), l2 (x) para el caso de n = 2, dando valores específicos para xo , x1 , x2 . b. Muestre que li (xi ) = 1 y li (xj ) = 0, (i = j). Actividad 4. Defina el polinomio p(x) = yo lo (x) + y1 l1 (x) + · · · yn ln (x) Muestre quep(xi ) = yi. Como el polinomio de interpolacion es unico, esto implica que p(x) es el polinomio de interpolacion y se puede construir naturalmente de esta manera. a. Utilizando los siguientes datos (1, −1), (3, −2), (4, 2), (5, −3), calcule los polinomios de Lagrange lı correspondientes y el polinomio de interpolación. b. Consultar datos experimentales de sus laboratorios o datos que tengan los...