Hacia la teoria fundamental del calculo

HACIA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |
Vimos que cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ³ 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:
= cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b.
Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o  equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambiototal en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) - F(a). Podemos definir = F(b) - F(a).
Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:
Si v(t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivadav'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así = v(t2) - v(t1) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2.
Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera = [c](t2) - [c](t1) es el cambio en la concentración [c] desde elinstante t1 hasta el t2.
Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces la densidad lineal es r (x) = m'(x). De esta manera = m(b) - m(a) es la masa del segmento de la varilla entre x = a y x = b.
Si la tasa de crecimiento de una población es entonces = p(t2) - p(t1) es el aumento de población durante el período desde t1 hasta t2.
Si c(x) es el costo paraproducir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente = c(x2) - c(x1) es el incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades.
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) , entonces su velocidad es v(t) = s'(t) de modo que = s(t2) - s(t1) es el cambio de la posición, o desplazamiento, de lapartícula durante el período desde t1 hasta t2.
Dado que la aceleración de un objeto es a(t) = v'(t), podemos asegurar que la expresión
= v(t2) - v(t1) es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.
La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir que P(t) = E'(t) y por lo tanto resulta = E(t2) - E(t1) indica la energía utilizada en el tiempo entre t1 yt2.
La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de sumas resulta complicado.
Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Estosignifica que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando laintegral indefinida de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
Intuicióngeométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que...