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Diferentes clases de números reales.


Recta real.
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden serdescritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y seusaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definicionesprecisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.



Índice
(Este mismo índice aparece en el marco de la izquierda para facilitar consultas sucesivas)
Los números naturales
El principio de inducción matemática
División exacta y división entera
Descomposición en factores primos
Máximo común divisor ymínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides
Representación de un número natural en una base cualquiera

Los números enteros




Los números racionales
Relación de orden en el conjunto de los racionales
Densidad del conjunto de los racionales.
Propiedad arquimediana
Cardinal de los racionales
Representación decimal de los números racionales

Los númerosirracionales



Los números reales

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Los números naturales
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

• Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman unsemigrupo conmutativo.
• Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupoconmutativo.
• El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto delos números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.
• El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dosnaturales, e , o bien , o bien .
• Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene .
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.
• Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .
o Esto nospermite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:
Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también...