Hallar triángulos de pitagoras a partir del cateto menor

Fórmula para generar el triángulo de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es muy conocido por todo el mundo, uno de sus triángulos más conocido es el de lados 3, 4 y 5. Catetos 3 y 4, hipotenusa 5.
Existe una demostración gráfica de dos cuadrados uno dentro de otro haciendo que las esquinas del cuadrado interior toquen los lados del cuadrado exterior, como sigue:

Demostración del teorema dePitágoras:

El área del cuadrado exterior: (a + b) 2
El área del cuadrado interior: c2
El área del triángulo recto: a * b / 2
El área del cuadrado exterior: área del cuadrado interior + área de los 4 triángulos rectos.

Igualando:
(a + b) 2 = c2 + 4 * (a * b / 2)
Desarrollando:
a2 + 2 * a * b + b2 = c2 + 2 * a * b
Simplificando términos iguales (2 * a * b):
a2 + b2 = c2

Desde unacolección de triángulos rectángulos conocidos tenemos:

Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
3 4 5
5 12 13
6 8 10
7 24 25
9 12 15
9 40 41
10 24 26
11 60 61
12 16 20
13 84 85
14 48 50
15 20 25
15 36 39
15 112 113
17 144 145
18 80 82
19 180 181
20 48 52
21 72 75
21 220 221

De los cuales podemos encontrar que varias secuencias de triángulos son múltiplos de otros valores detriángulos bases, por lo tanto nos quedamos con los siguientes:

Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 112 113
17 144 145
19 180 181
21 220 221

En base a estos triángulos primigenios que son submúltiplos de los que hemos eliminado, pasamos a analizarlos para encontrarnos con la fórmula que genera los triángulos rectos:

Nuestroprimer triángulo es el 3, 4, 5; nuestro siguiente triángulo es el 5, 12, 13, por lo tanto nuestro lado más pequeño es un impar, por lo tanto su secuencia de crecimiento es de 2 en 2; el siguiente lado pasa de 4 a 12, por lo tanto hubo una multiplicación de 4 x 3, el tercer número es una unidad mayor que el cateto mayor es decir 12 + 1 es 13. En este punto tenemos cómo hallar el menor cateto y lahipotenusa, nos debemos centrar en hallar el cateto mayor. Prosigamos, el siguiente impar es 7, el cateto mayor es 4 x 6 entonces 24, su hipotenusa es 25, el siguiente triángulo empieza con impar, es 9, el cateto mayor es 4 x 10 entonces 40 y la hipotenusa es 41, el siguiente triángulo empieza con impar es 11, el cateto mayor es 4 x 15 entonces 60 y la hipotenusa es 61, y así sucesivamente.

Por lotanto los valores encontrados nos sugerirían las siguientes secuencias que son:
Para el cateto menor 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 …
Para el cateto mayor 4 x (1+ (2 + (3+ (4+ (5 + (6+ (7+ …))))))
Nos da soluciones: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112 …
Para la hipotenusa: cateto mayor + 1: 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113 …

En base a la secuencia numérica para encontrar los lados mayores del triángulo a partirdel cateto menor, nos encontramos con una acumulación de números secuenciales para poder hallar el cateto mayor.
Aprovechamos la fórmula para la suma de números secuenciales de razón aritmética:
S = (a + u)* n /2
Donde S = suma de términos;
a = primer elemento de la serie;
u = último elemento de la serie;
n= cantidad de términos de la serie.

En nuestra secuencia el último término coincidecon la cantidad de términos de la serie.
Generando la fórmula general para la creación de triángulos rectos con números (enteros) que cumplan el teorema de Pitágoras:
Cateto menor = X impar, por lo tanto su número de orden es:
n = u = (X-1)/2 y al reemplazar en la fórmula de la suma de una serie de términos con razón aritmética obtenemos:
Cateto mayor es 4 * S --> 4 * (1 + (X-1)/2 ) *((X-1)/2)/2 operando logramos obtener sucesivamente:
4 * ((2 + X – 1)/2) * (X – 1)/4 y luego
(1 + X) * (X – 1) / 2 lo que nos resulta en una fórmula:
(X2 – 1)/2

Nota.- X2 es X al cuadrado

Resumiendo:
Cateto menor = X
Cateto mayor = (X2 – 1)/2
Hipotenusa = cateto mayor + 1

Generalizando: Dado cualquier valor para un cateto del triángulo recto, podemos hallar el triángulo de Pitágoras que...