Hamilton Y Cuaterniones Por José Manuel Sanchéz Muñoz

Historias de Matemáticas Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones
José Manuel Sánchez Muñoz
Revista de Investigación

ISSN 2174-0410

1 de octubre de 2011
Resumen Este artículo pretende ofrecer una visión general del descubrimiento de los llamados cuaterniones por parte del matemático irlandés William Rowan Hamilton. Se pretende dar al lector algunos detalles del nacimiento de losnúmeros imaginarios en el siglo XVI, su interpretación geométrica a principios del siglo XIX, y la extensión del plano complejo a las tres dimensiones a través de los cuaterniones, que abrirían el paso al estudio y el desarrollo de las nuevas álgebras no conmutativas y a una nueva interpretación tridimensional de la realidad física. Palabras Clave: Sir William Rowan Hamilton, álgebras noconmutativas, números complejos, cuaterniones, análisis vectorial.

1. Introducción
Aunque considerar la paternidad legítima de los números complejos ha resultado históricamente una tarea complicada, tanto la unidad imaginaria i como los números enteros negativos siempre estuvieron rodeados de un halo misterioso y resultaron para los matemáticos una fuente constante en la que beber. El misterio se vioalimentado por dos hechos que sucedieron simultáneamente aunque de forma independiente. Por un lado la publicación en Alemania de Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, más conocida como Ausdehnungslehre, traducida como Teoría de La Extensión, o Teoría de las magnitudes extensivas de Hermann Günther Grassmann (1809-1877) en 1844, que describía las geometrías n-dimensionalesde un modo algebraico y los sistemas de los números hipercomplejos, y por otro, el descubrimiento de los cuaterniones por parte del matemático irlandés William Rowan Hamilton, que resultaron ser unos nuevos números que no obedecían la propiedad 1

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conmutativa de la aritmética común. Apesar de que las álgebras vectoriales descritas por Grassmann resultaron ser mucho más generalistas que las de Hamilton, sin embargo su comprensión y el sentido e importancia de sus ideas no fueron asimiladas y reconocidas en su tiempo. El descubrimiento de estas nuevas estructuras algebraicas constituyó junto a la aparición de las geometrías no euclídeas un punto de inflexión en el desarrollo de lamatemática del siglo XIX. Los matemáticos se vieron obligados a enfrentarse con la relación que existía entre los símbolos y los objetos matemáticos, y comenzaron a distinguir de manera más clara la interconexión que había existido históricamente entre las ecuaciones algebraicas y la manipulación de los números. La nueva y más flexible concepción del álgebra emergida a mediados del siglo XIX hizoposible avances en las técnicas algebraicas y la lógica simbólica de matemáticos como Boole, Peirce, y Schröder, o el desarrollo de álgebras abstractas de la mano de matemáticos como Cayley, Sylvester, Clifford, Gibbs, o Dedekind entre otros.

2. La Representación de los Números Complejos
La primera vez que se tiene constancia escrita de la aparición de los números complejos la encontramos en elArs Magna de Girolamo Cardano publicado en 1545. Previamente en el año 1539 Cardano había conocido al célebre matemático Tartaglia, lo que resultaría crucial en su vida puesto que comenzaría a interesarse por las ecuaciones cúbicas. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos.Girolamo Cardano

Niccolò Fontana Tartaglia

Tartaglia le enseñó a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y...