HASES
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Publicado: 8 de septiembre de 2014
Ley de tricotomía
En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.
Enunciado[editar]
Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de lassiguientes relaciones:
La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tengax ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puedehaber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.
Relación transitiva
Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:
Dado elconjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R by b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
Ejemplos[editar]
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:
Así, puesto que:
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor oigual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:
Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no essubconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple y pero no se cumple puesto que es subconjunto de .
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5no es la mitad de 20.
Representación[editar]
Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, medianteuna matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:
Como pares ordenados,
Como matriz de adyacencia , la matriz es tal que
Como grafo, cada vez que desde un nodo se pueda llegar a otro , pasando primero por un nodo intermedio , entonces también existirá la arista .
Densidad
Paraotros usos de este término, véase Densidad (desambiguación).
En física y química, la densidad (símbolo ρ) es una magnitud vectorial referida a la cantidad de masa en un determinadovolumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.
Si un cuerpo no tiene una distribución uniforme de la masa en todos sus puntos la densidad alrededor de unpunto puede diferir de la densidad media. Si se considera una sucesión pequeños volúmenes decrecientes (convergiendo hacia un volumen muy pequeño) y estén centrados alrededor de un punto, siendo la masa contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, la densidad en el punto común a todos esos volúmenes:
La unidad es kg/m³ en el SI.
Como ejemplo, un objeto de plomo es más denso que otrode corcho, con independencia del tamaño y masa.
Índice
[ocultar]
1 Historia
2 Tipos de densidad
2.1 Absoluta
2.2 Relativa
2.3 Media y puntual
2.4 Aparente y real
3 Cambios de densidad
4 Medición
4.1 Unidades
5 Véase también
6 Referencias
7 Bibliografía
8 Enlaces externos
Historia[editar]
Según una conocida anécdota, Arquímedes recibió el encargo de determinar si el orfebre...
En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.
Enunciado[editar]
Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de lassiguientes relaciones:
La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tengax ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puedehaber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.
Relación transitiva
Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:
Dado elconjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R by b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
Ejemplos[editar]
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:
Así, puesto que:
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor oigual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:
Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no essubconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple y pero no se cumple puesto que es subconjunto de .
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5no es la mitad de 20.
Representación[editar]
Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, medianteuna matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:
Como pares ordenados,
Como matriz de adyacencia , la matriz es tal que
Como grafo, cada vez que desde un nodo se pueda llegar a otro , pasando primero por un nodo intermedio , entonces también existirá la arista .
Densidad
Paraotros usos de este término, véase Densidad (desambiguación).
En física y química, la densidad (símbolo ρ) es una magnitud vectorial referida a la cantidad de masa en un determinadovolumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.
Si un cuerpo no tiene una distribución uniforme de la masa en todos sus puntos la densidad alrededor de unpunto puede diferir de la densidad media. Si se considera una sucesión pequeños volúmenes decrecientes (convergiendo hacia un volumen muy pequeño) y estén centrados alrededor de un punto, siendo la masa contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, la densidad en el punto común a todos esos volúmenes:
La unidad es kg/m³ en el SI.
Como ejemplo, un objeto de plomo es más denso que otrode corcho, con independencia del tamaño y masa.
Índice
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1 Historia
2 Tipos de densidad
2.1 Absoluta
2.2 Relativa
2.3 Media y puntual
2.4 Aparente y real
3 Cambios de densidad
4 Medición
4.1 Unidades
5 Véase también
6 Referencias
7 Bibliografía
8 Enlaces externos
Historia[editar]
Según una conocida anécdota, Arquímedes recibió el encargo de determinar si el orfebre...
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