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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERPOLACION NUMERICA Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

1) *Probar que si g interpola a la función f en entonces a la función ) )

,

,…,

y h interpola a f en , ,…., ,

,

,…,

,

)) interpola a f en

notarque h y g no necesitan ser polinomios). Sol: Sea ) Con i 0 Con i n ) ) ) ) ) 1) ) ) ) ). ) ) ) ) ) ) ) ) )) en los nodos 0, por lo tanto ) ) ) , i 1,…, n-1 se tiene ) ) ), ). 1, . . , 1

2) Se sabe que

)

4

3

1)

2

1)

1)

1)

1)

1)

es el polinomio de interpolación de Hermite de cierta función f ,basado en los datos 1), 1), 1), 1) 1). ). a) Sin evaluar -1 -1 1 1 1 11 1 1), Sol: a) Hermite es un método de interpolación en que se involucran las derivadas de la función. Entonces; Si x -1 1 1 1, 1 4 y como el -1 se repite 1 vez, la diferencia dividida entre estos 2 primeros 3 datos dará la primera derivada de la función, es decir; 4 1 3 1,1 1,1 1,1 1), -2 1,1,1 1,1,1 1) 1). 3/2 1,1,1,1 -1/2 ) ni sus derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferenciasdivididas

con repetición utilizada en la construcción de

b) Sin evaluar

) ni sus derivadas en -1 y 1, determinar los valores de

Ahora se pueden empezar a hacer relaciones entre los datos que se dan, y las incógnitas. Por lo tanto;
,

2

, , , , , , , , /

1

1,1 1,1,1 1,1,1

1

1 1 2

1 1/2

2

1,1,1,1 1

Entonces al reemplazar los resultados obtenidos en la tabla,quedara así; -1 -1 4 4 3

1

1,1

1 1 1

2

2

-1 1 1

-2 1 2

2

3/2

1/2

-1/2 1), 1), 1) 1), estan dados por;

1

b) Los valores de 1, 1 2 3 2 1) 1) 1)

En la tabla los valores pedidos están en los lugares; -1 -1 4 1) 4 3

1,1,1

1,1

1

1)

1

1

1

1) 1)

1)

2

2

-1

2

1)

1)

1

-2 1 1) 2

1

3/2

1/2

-1/2

3) Utilizar elmétodo de Hermite para hallar un polinomio P x) de grado 2 que satisfaga: p 1) 0, p' 1) 7, p 2) 10 .

Como existe la derivada del polinomio p x), quiere decir que el método a utilizar es el de forma; 1

Sol:

Hermite en el caso de que no nos dijeran el método a utilizar), entonces la tabla quedaría de la X P x) 1 2 0 0 7

10

P [1,2]=10

P [1,1,2]=3

P [1,2]= 10/1

P [1, 1,2]=(10-7)/1 = 3 P(x)=7(x-1)+3( P(x)=3 + 1)

El polinomio de interpolación quedaría expresado de la forma 4 satisface las condiciones de p(1)= 0, p' (1) = 7, p(2) = 10 . ( ) y los nodos = , = , = + , con

4) Dada una función 0, = 1,2 y

b) Utilizando ( ) obtener la formula ( )
( ) ( ) ( ) (

a) Construir el polinomio de interpolación ( ) de ( ) con los nodos dados.
)

, se pide:

Sol:

c)Calcular la expresión de error de la formula anterior.

a) Construimos nuestra tabla: = ( ( ) )

=

( )

( ) (

(

( )

)

)
( ) ( ) ( ) ( )

Entonces el polinomio de interpolación es; ( )= ( + )+ ( ) ( ) 1 + ( + ) ( ) ( ( ) + ) (

=

+

( +

)

( )

(

)

)

(

+

) (

)

b) Como la intención del los métodos de interpolación es aproximar una funciónpor medio de Por lo tanto, se puede rescatar que un polinomio, entonces ) ) ), , ) 1,2, … , ) )

Entonces;

Si , , son constantes. ) 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

El polinomio de interpolación quedaría expresado así; Al desarrolla el polinomio se obtiene; ) ) ) )

)

La primera derivada es; La segunda derivada es; Entonces se obtiene que; ) 2 ) 2 ) ) 2

)

)

)

)

)

)

c) Elerror puede expresarse de la siguiente forma; Con ) | ) ) max ∏ )|
)! )

En nuestro caso, el error es; Con ) | ) ) max | )| )
!

)

max |

)| ,

,

) ;

, ) ;

,

)

Entonces, la expresión del error es ) | ) )| max | 6

)

max |

)| ,

,

)

)| ,

,

)|

max|

)

)

)|

4) Sean )

)

3 2)

1)

2)

1) 2

2)

1.5)

2

1.5),...