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Lecci´n 7
o

Ecuaciones diferenciales de primer orden:
Aplicaciones a la Ingenier´ Qu´
ıa
ımica

7.1.

Introducci´n
o

´
Este curso es una introducci´n a las ecuaciones diferenciales. Estas aparecer´n con mucha
o
a
frecuencia en muchas otras asignaturas como modelos que permiten estudiar propiedades de
la materia y procesos de inter´s en Ingenier´ Qu´
e
ıa
ımica. Existe,adem´s, una asignatura
a
espec´
ıfica en el segundo ciclo dedicada al estudio de modelos matem´ticos para la Ingenier´
a
ıa
Qu´
ımica.
Con esta lecci´n se prentende tender un puente entre la notaci´n, muy simplificada, que
o
o
utiliza la matem´tica en el estudio de las ecuaciones diferenciales y la que aparece, de forma
a
natural, al estudiar algunos problemas de Ingenier´ Qu´
ıa
ımica. Nose pretende explicar con
detalle c´mo y por qu´ aparecen ecuaciones diferenciales en diversos procesos ingenieriles. En
o
e
cada problema tipo que estudiaremos se intentar´ hacer plausible que la ecuaci´n o ecuaciones
a
o
correspondientes sirven para dar soluci´n a dicho problema. La importancia de los problemas,
o
su motivaci´n y la explicaci´n profunda de su modelizaci´n matem´ticaser´ abordada en
o
o
o
a
a
otras asignaturas.
En conclusi´n, el objetivo de esta lecci´n es, por una parte, mostrar que las ecuaciones
o
o
diferenciales aparecen de forma natural en cantidad de problemas de ingenier´ qu´
ıa ımica en
95

96

Ecuaciones diferenciales de primer orden: Aplicaciones a la Ingenier´ Qu´
ıa
ımica

los que los procesos no son estacionarios. Y por otraparte mostrar que en las aplicaciones,
por lo general, la forma en la que se escriben las ecuaciones diferenciales, debido a la notaci´n
o
que se utiliza, es muy diferente de la que se usa en el estudio matem´tico de las mismas.
a
Este hecho no nos debe extra˜ar ni confundir. Lo normal es que se utilicen s´
n
ımbolos que nos
permitan reconocer a simple vista los objetos con los que estamostrabajando, pero siempre
debe estar claro cu´les son las variables y constantes que interviene en cada ecuaci´n.
a
o
En la primera lecci´n ya se expusieron algunos ejemplos simples de ingenier´ qu´
o
ıa ımica
en los que aparec´ ecuaciones diferenciales. En ´sta veremos algunos ejemplos m´s. Conıan
e
a
cretamente analizaremos con un poco m´s detalle la cin´tica de las reacciones qu´
a
eımicas y
algunos balances de masa y energ´ muy sencillos.
ıa

7.2.

Ecuaciones Diferenciales en Cin´tica Qu´
e
ımica

Tal y como vimos en la Lecci´n 1 (Secci´n 1.1.3) las reacciones qu´
o
o
ımicas pueden denotarse
por una ecuaci´n estequiom´trica:
o
e
a A + b B + ··· = p P + q Q + ···

(7.1)

en la que los s´
ımbolos A, B, . . . son en la pr´ctica f´rmulas qu´
a
o
ımicas querepresentan las
sustancias que reaccionan para dar productos P, Q, . . .. Recordemos de nuevo que los n´meros
u
a, b, . . . y p, q, . . . en la ecuaci´n significa que a mol´culas de A reaccionan con b mol´culas de
o
e
e
B, . . ., para dar p mol´culas de P , q mol´culas de Q, etc.. Estas ecuaciones se suelen escribir
e
e
agrupando todas las sustancias en una parte de la ecuaci´n:
o
0 =−a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . =
νA A + νB B + . . . + νP P + νQ Q + . . .
y a los n´meros −a, −b, p, q, etc. se les llama n´meros estequiom´tricos.
u
u
e
La velocidad de reacci´n es la variaci´n de la concentraci´n (en moles/(unidad de voluo
o
o
men), supuesto el volumen constante) y divido por el correspondiente n´mero estequiom´trico.
u
e
Esta cantidad es la misma para cadasustancia y por lo tanto para una reacci´n general de
o
la forma (7.1) tendr´
ıamos:
v=−

1 d[B]
1 d[P ]
1 d[Q]
1 d[A]
=−
=
=
= ···
a dt
b dt
p dt
q dt

y, por ejemplo, para la reacci´n del agua 0 = −2H2 − O − 2 + 2H2 O:
o
v=−

d[O2 ]
1 d[H2 O]
1 d[H2 ]
=−
=
2 dt
dt
2 dt

(7.2)

7.2 Ecuaciones Diferenciales en Cin´tica Qu´
e
ımica

97

Los mecanismos...