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TRANSFORMADA Z

Algunos pares de transformadas z
En la Tabla 1.1 se observan las transformadas z de las se˜ ales b´sicas. n a

Se˜ al n δ (n) u (n) −u (−n − 1) δ (n − m) 1

Transformada zROC Todo C |z| > 1 |z| < 1 Todo C excepto 0 (si m > 0) o ´ ∞ (si m < 0) |z| > |α| |z| < |α|

1 1 − z −1 1 1 − z −1 z −m

αn u (n) −αn u (−n − 1) nαn u (n)

1 1 − αz −1 1 1 − αz −1 αz −1 (1 − αz−1 )2 αz −1 (1 − αz −1 )2 1 − [cos ω0 ] z −1 1 − [2 cos ω0 ] z −1 + z −2 [sen ω0 ] z −1 1 − [2 cos ω0 ] z −1 + z −2 1 − [r cos ω0 ] z −1 1 − [2r cos ω0 ] z −1 + r 2 z −2 [rsen ω0 ] z −1 1 − [2r cos ω0 ]z −1 + r 2 z −2

|z| > |α|

−nαn u (−n − 1)

|z| < |α|

[cos ω0 n] u (n)

|z| > 1

[sen ω0 n] u (n) [r n cos ω0 n] u (n) [r n sen ω0 n] u (n)

|z| > 1

|z| > r

|z| > r

Tabla 1.1:Pares b´sicos de transformadas z. a

TRANSFORMADA Z

Propiedades de la transformada z
Recu´rdese que la ROC resultante cuando combinamos varias transformadas z es, cuando menos, e laintersecci´n entre las ROC de las transformadas individuales. En la Tabla 1.2 se observan las o propiedades de la transformada z.

Propiedad

Se˜ al n x (n) x1 (n) x2 (n)

Transformada z X (z) X1 (z) X2(z) aX1 (z) + bX2 (z) z −n0 X (z) X e−jω0 z X X
z z0 a−1 z

ROC R R1 R2
Al menos

Linealidad Desplazamiento en tiempo Escalamiento en el dominio de

ax1 (n) + bx2 (n) x (n − n0 ) ejω0 n x (n)
nz0 x (n) an x (n)

R 1 ∩ R2

R, o R ∪ {0}, o R − {0} ´ ´ R z0 R |a| R = {w : w = |a| z, z ∈ R} R−1 = w : w = z −1 , z ∈ R R
Al menos Al menos

z

Inversi´n en el tiempo o Conjugaci´n oConvoluci´n o Primera Diferencia

x (−n) x (n) x1 (n) ∗ x2 (n) x (n) − x (n − 1)
n k=−∞ x (k)

X z −1 X (z) X1 (z) X2 (z) 1 − z −1 X (z) 1 X (z) 1 − z −1 −z dX (z) dz

R 1 ∩ R2 R ∩ {z : |z| > 0} R ∩{z : |z| > 1}

Acumulaci´n o

Al menos

Diferenciaci´n en el o dominio de

nx (n)

R

z

Si

Teorema del valor inicial x (n) = 0 para n < 0, entonces x (0) = lim X (z)
z→∞...