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COVARIANZA
La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones están relacionadas entre sí. La formulación clásica, se simboliza por la letra griega sigma (xy) cuando ha sido calculada en la población. Si se obtiene sobre una muestra, se designa por la letra "Sxy". 
Este tipo de estadístico puede utilizarse para medir el grado de relación de dosvariables si ambas utilizan una escala de medida a nivel de intervalo/razón (variables cuantitativas).
La formula suele aparecer expresada como:  
La expresión se resuelve promediando el producto de las puntuaciones diferenciales por su tamaño muestral (n pares de puntuaciones, n-1 en su forma insesgada).
Este estadístico, refleja la relación lineal que existe entre dos variables. El resultadonumérico fluctua entre los rangos de +infinito a -infinito. Al no tener unos límites establecidos no puede determinarse el grado de relación lineal que existe entre las dos variables, solo es posible ver la tendencia.
1. Una covarianza positiva significa que existe una relación lineal positiva entre las dos variables. Es decir, las puntuaciones bajas de la primera variable (X) se asocian con laspuntuaciones bajas de la segunda variable (Y), mientras las puntuaciones altas de X se asocian con los valores altos de la variable Y.
2. Una covarianza de negativa significa que existe una relación lineal inversa perfecta (negativa) entre las dos variables. Lo que significa que las puntuaciones bajas en X se asocian con los valores altos en Y, mientras las puntuaciones altas en X se asocian con losvalores bajos en Y.
3. Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas.

VALOR ESPERADO

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:
E(X) = å xi  f(xi)
 
Lo anterior significa, que paracalcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.
 
El valor esperado representa el valor  promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución deprobabilidad, por lo que es igual a lamedia o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra m.
 
            De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:
 
E(X) = m = å xi  f(xi)
 
 
Ejemplo 4. 7. Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.
 
Solución.
 
Definamos la variable aleatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dadoslegales. Como vimos en el problema anterior, la distribución de probabilidad es:
 
å xi f(xi) =
 
 
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(xi)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
 
En particular, si la distribución de probabilidades es simétrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad enla distribución.
 
Una aplicación del valor esperado puede ser la siguiente.
 
Ejemplo 4. 8. Un casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer k para que el jugador ni gane ni pierda.
 
Solución.
 
Sea X lavariable aleatoria que representa el resultado al lanzar un dado. Su distribución de probabilidad es la siguiente:

1
2
3
4
5
6

1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
 
 
En este caso el valor esperado debe ser igual al valor k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la fórmula del valor esperado tenemos:
 
å xi  f(xi) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) +5(1/6) +...