HERRAMIENTAS INFORMATICAS

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 4: Lección Evaluativa Unidad 1

Variables separables
Definición:
Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma:

se

puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por
una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial sellama separable. Es decir una ecuación es de variables separables si y solo si se
puede escribir de la forma:

La forma de resolver las ecuaciones por variables separables es la siguiente:
1. Operamos por 1/ p( y ) ambos lados de la ecuación por tanto se tiene:
2. Por conveniencia sustituimos h ( y ) = 1/ p( y ) , luego
3. Se sigue el paso al otro lado de la igualdad el diferencial dx,entonces se tiene h( y
)dy = g(x) dx
4. Se integra ambos lados de la igualdad por lo tanto:
5. Finalmente se obtiene: H (y) = G (x) +C.
6. La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita.

Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial:
Solución:
Realizamos los pasos anteriores por tanto la ecuación diferencial quedará así:

Ahora se integra ambos lados de la ecuación:
De aquí seobtiene el siguiente resultado Ln (y-1) = Ln (x+3)+C.
Ahora se opera por e ambos lados de la igualdad y se tiene que:
eLn (y-1)=eLn (x+3) +C
Aplicando leyes de logaritmo resultará:
y -1= C(x+3), por consiguiente
y = C(x+3) + 1,
que es la solución de la ecuación diferencial

1

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 4: LecciónEvaluativa Unidad 1

Ecuaciones Homogéneas
Ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden no son separables, pero pueden
llevarse a la forma mediante un sencillo cambio de variables. Estas ecuaciones
reciben el nombre de Ecuaciones Homogéneas.
Sea la E.D. y' = g(y/x) (1)
donde g es una función cualquiera dada de y/x, por ejemplo g(y/x)=(y/x) 3. La forma
de la ecuación sugiere que serealice el cambio u=y/x., donde y y u son funciones
de x. Entonces y=ux.
Ahora se deriva la variable y con respecto a x, se obtiene y' = u + u'x, ahora se
sustituye en (1) y obtenemos:

u+u'x=g(u)
Ahora separamos variables por lo tanto: u + x du/dx = g(u)
De esta ecuación se tendrá:

Se integra ambos lados:

Luego de que se integre se remplaza u por y/x, y se encontrará la solución
generalde (1).
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial: 2xyy' - y2 + x2 = 0
Solución:
Primero se divide por x para que quede de la forma y/x. y por tanto
2

(1)
Sea u=y/x, entonces y = ux. Derivamos con respecto a x entonces y' = u + u'x, se
remplaza en (1) por lo tanto se tiene:
2u(u+u'x) - u2 + 1 = 0 ==> 2u2+ 2u'xu - u2 + 1 = 0 ==> 2xu u' = -(1+u2), como
u'=du/dx entonces:
,
Ahora seintegra ambos lados de la ecuación y resulta

2

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 4: Lección Evaluativa Unidad 1

Ln |1+u2| = - Ln |x| + c.
, el logartimo -ln x queda ln x-1.

Operamos por e, entonces:

Entonces se tiene:
1+u2= c/x. (2)
Y remplazando a u=y/x en (2) obtenemos la solución de la ecuación diferencial
quees:
x2+y2=cx

Ecuaciones exactas
La ecuación M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si
existe una función u de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal
que:
y
Supongamos que M y N están definidas y tienen primeras derivadas parciales
continuas en una región del plano xy. Y por la suposición de continuidad las
segundas derivadas parciales soniguales por lo tanto se cumple:

Que es condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, sea
exacta.
Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta, entonces se tiene una función u(x,y) que se
encuentra de siguiente forma:

O

Ejemplo
Resolver (1+x2) dy +2xy dx=0

3

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 4:...