hessianos

Matriz hessiana
y algunas aplicaciones de formas cuadr´ticas
a
en C´lculo de varias variables
a
Objetivos. Conocer algunas aplicaciones de formas cuadr´ticas en C´lculo de varias
a
avariables.
Requisitos. Forma cuadr´tica, matriz asociada a una forma cuadr´tica, ´
a
a
ındices de inercia
de una forma cuadr´tica, funciones de varias variables, matriz hessiana.
a
1. Definici´n (matrizhessiana, matriz de las segundas derivadas parciales).
o
Sea D un conjunto de Rn , a un punto interior de D, f : D → R una funci´n que tenga
o
segundas derivadas parciales continuas en el puntoa. Entonces la matriz de las segundas
derivadas parciales de la funci´n f en el punto a,
o


  ∂2f
2f
(a) . . . ∂x∂1 ∂xn (a)
(D1,1 f )(a) . . . (D1,n f )(a)
∂x1 ∂x1


 
.
.
.
...
..
.
.
.
.
,

=
.
.
.
.
.
.
∂2f
∂2f
(Dn,1 f )(a) . . . (Dn,n f )(a)
(a) . . . ∂x ∂x (a)
∂x ∂x
n

1

n

n

se denota por f (x) o Hf (x) y se llama la matriz hessianade la funci´n f en el punto x.
o

Criterio de convexidad en t´rminos de la matriz hessiana
e
2. Definici´n (funci´n convexa). Sea D un conjunto convexo de Rn . Una funci´n
o
o
o
f : D → R sellama convexa en D si para todos a, b ∈ D y para todos λ, µ ≥ 0 tales que
λ + µ = 1 se cumple la siguiente desigualdad:
f (λa + µb) ≤ λf (a) + µf (b).
3. Definici´n (funci´n estrictamente convexa).Sea D un conjunto convexo de Rn .
o
o
Una funci´n f : D → R se llama estrictamente convexa en D si para todos a, b ∈ D tales
o
que a = b y todos λ, µ > 0 tales que λ + µ = 1 se cumple lasiguiente desigualdad:
f (λa + µb) < λf (a) + µf (b).
4. Teorema (criterio de convexidad en t´rminos de la matriz hessiana). Sea D
e
n
un conjunto convexo abierto de R y sea f ∈ C 2 (D). Entonces lassiguientes condiciones
son equivalentes:
(a) La funci´n f es convexa en D.
o
(b) Para todo x ∈ D, la matriz f (x) es no negativa definida: f (x) ≥ 0.
5. Teorema (condici´n suficiente para convexidad...