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Universidad Militar Nueva Granada Parcial de C´lculo Vectorial a Contestar correctamente cuatro de los ejercicios dados: 1. Una part´ ıcula se mueve en el espaciotridimensional, de forma que sus coordenadas en cualquier instante son x = 4 cos t, y = 4 sin t y z = 5t, donde t ≥ 0. Encuentre la rapidez con que cambia la distancia al origen en elinstante t = 5π/2 segundos; su distancia al origen est´ dada por a w= x2 + y 2 + z 2

2. La temperatura T en un punto P (x, y, z) de un objeto que est´ colocado en un a 2 − y2 + 16z 2 . Calcule la sistema de coordenadas rectangulares est´ dada por T = 4x a tasa de cambio de T en el punto P (4, −2, 1) en la direcci´n del vector 2 i + 6 j − 3 k. o¿En qu´ direcci´n aumenta m´s r´pidamente T en P ? ¿Cu´l es la tasa m´xima de e o a a a a cambio? ¿Hacia qu´ direcci´n disminuye m´s r´pidamente T en P ? ¿Cu´l es la raz´n e o aa a o de cambio correspondiente? 3. Determine la ecuaci´n del plano tangente y las ecuaciones param´tricas de la recta o e normal a la superficie xy + 2yz − xz 2 + 10 = 0 enel punto P (−5, 5, 1). 4. Determinar y clasificar los puntos cr´ ıticos de la funci´n o f (x, y) = x4 + 3y 3 − 2x2 − 3y − 1 5. Una empresa desea construir un tanque rectangularcon capacidad de 1500 pies c´bicos de agua. La base y las paredes verticales deber´n ser de concreto y la tapa u a de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de´rea que el del concreto a que es de $10, determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construcci´n. o 6. Determinar el rotacional y la divergencia delcampo vectorial F (x, y, z) = xy 2 z 4 i + (2x2 y + z) j + y 3 z 2 k

´ No se responden preguntas acerca de la solucion del parcial durante el tiempo del mismo (2 horas)