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Un caso de modelado y simulaci´on
F. Javier Gil Chica
abril, 2009
Resumen
Este art´ıculo se ofrece como introducci´on a la asignatura de Modelado y simulaci´
on de sistemas din´
amicos. Un sistema din´amico es aqu´el
que se describe mediante un cierto n´
umero de variables cuyos valores
son funci´
on del tiempo. Las teor´ıas que se ocupan de diversas clases
de sistemas din´amicos(as´ı, la Mec´anica para sistemas mec´anicos, la
Electricidad para sistemas el´ectricos, etc.) no nos proporcionan directamente estas funciones, sino ecuaciones que expresan la velocidad a
la que cambian las variables que describen el sistema. Formalmente,
nos proporcionan sistemas de ecuaciones diferenciales que despu´es han
de ser integradas para obtener propiamente las funciones que expresan losvalores de las variables en funci´on del tiempo. A veces, esta
integraci´on puede hacerse de forma anal´ıtica. A veces, ha de hacerse
de forma num´erica.

1.

Nuestro sistema

Elegimos como sistema ilustrativo un proyectil de masa m. Deseamos conocer su posici´on y velocidad en todo instante, y quiz´as alg´
un
dato derivado, como su m´aximo alcance o m´axima altura alcanzada.
Elproyectil puede modelarse de diversas formas (como una masa inerte lanzada con una velocidad inicial o como proyectil autopropulsado)
y ponerse en diversos escenarios: movimiento ideal sin rozamiento y
sometido a la aceleraci´on constante de la gravedad, con rozamiento
dependiente de la velocidad, con rozamiento que depende de la velocidad y de la densidad del aire, con una densidad del aire que var´ıade
una forma u otra seg´
un la altura, lanzado desde una plataforma fija o
desde una plataforma en movimiento, sometido o no a los efectos de
la rotaci´on del sistema de referencia, etc.

1

Dependiendo del modelo de proyectil elegido y del escenario las
ecuaciones que describen su movimiento tendr´an una u otra forma. Si
las ecuaciones son sencillas, ser´a f´acil integrarlas. En casocontrario,
ser´a preciso integrarlas num´ericamente. Como resultado de la integraci´on num´erica, obtenemos listas de n´
umeros que hemos de combinar para obtener gr´aficas. La integraci´on num´erica se efect´
ua mediante un programa. Aqu´ı usaremos el lenguaje C y representaremos
las gr´aficas mediante gnuplot. Hay otras opciones: Matlab, Maple,
Mathematica...
El procedimiento por tantoser´a el siguiente:
1. Identificar exactamente qu´e sistema queremos modelar y simular.
2. Con ayuda de la ciencia que se ocupe de los sistemas del tipo
al que pertenezca aqu´el en que estamos interesados, obtendremos un modelo para su comportamiento. Si esto no es suficiente,
tendremos que hacer hip´otesis razonables.
3. En general, cuando decimos modelo nos estamos refiriendo a un
sistema deecuaciones diferenciales.
4. Si el modelo puede resolverse anal´ıticamente, lo resolveremos as´ı.
Si no, lo integraremos num´ericamente y representaremos gr´aficamente el resultado.
Hay otros muchos aspectos que pueden tratarse. Por ejemplo, podemos preguntarnos por la estabilidad del sistema, es decir, por su
comportamiento cuando t → ∞. Es evidente que no podemos integrar
num´ericamentehasta t → ∞ y lo normal es que tampoco sepamos
integrar anal´ıticamente el modelo, por lo que se requerir´
an t´ecnicas
especiales que se tratan durante el curso. Tambi´en es posible que no
nos baste conocer c´
omo se va a comportar el sistema, sino que deseemos manipularlo de alguna manera para que se comporte de alguna
forma u
´til para nosotros. Existen igualmente t´ecnicas potentes paraconseguir esto que se tratar´an tambi´en durante el curso.

2.

Un m´
etodo de integraci´
on

El sistema din´amico m´as sencillo que podamos concebir es aqu´el que
se describe mediante una u
´nica variable x. Con ayuda de hip´otesis o
mediante alguna ciencia particular (Mec´anica, Electricidad, Qu´ımica,
etc.), obtendremos un modelo din´amico que se expresar´a como una
ecuaci´on...