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SECCIONES CÓNICAS
SECCIÓN CÓNICA
Se definió en unidades anteriores como la intersección de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen propiedades geométricas específicas. 
Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en los siguientes:
Foco:
Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se desprenden variaslíneas importantes que en el desarrollo de la unidad se irán estudiando.
Directriz:
Es una recta fija dentro de la cónica, que desarrollando diferentesrelaciones entre las distancias que genera esta recta, da origen a una sección cónica determinada.

LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozan de las mismas propiedades; y que para el caso, setrata, de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de un plano de ejes coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radio de la circunferencia. 
Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).
 

Ecuación general dela circunferencia
Al desarrollar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia se tiene:

 

 


Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos
A (-1, 1),
B (3, 5)
C (5, -3).
La ecuación de la circunferencia que se busca es de la forma general:

Donde se deben encontrar las constantes D, E y F: como los tres puntos pertenecen alacircunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación que estamos buscando,como hemos dicho es de forma general. De acuerdo con lo anterior se pueden plantear tres ecuaciones que corresponden a cada uno de los puntos dados.
Para el punto (-1, 1) Se tiene la ecuación: 1 + 1 - D + E + F = 0
Para el punto (3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0
Para el punto (5, -3) 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0Resolviendo términos semejantes en cada una de las ecuaciones:
D - E - F = 2
3D + 5E + F = - 34
5D - 3E + F = - 34
Resolvamos este sistema de ecuaciones con tres incógnitas por medio de alguno de losmétodos vistos en cursos anteriores para hallar los valores de las incógnitas:
 

Para hallar el centro y el radio de la circunferencia basta reemplazar los valores encontrados en las fórmulas:Traslación de los ejes coordenados de la circunferencia
Para simplificar las ecuaciones mediante traslación de ejes coordenados, es preciso enunciar el siguiente teorema: si se trasladan los ejes de coordenadas a un nuevo origen
O´(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son 
(x, y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistemainicial al nuevo sistema de coordenadas son:
x = x´+ h
y = y´+ k
 


Para desarrollar el ejercicio se toman las ecuaciones de transformación de ejes
x = x´+ h  x = x´+ 1
y = y´+ k  y = y´+ 2
y sus nuevos valores los reemplazamos en la ecuación original:

LA PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma que su distancia a una recta fijasituada en un plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
Puntos y líneas principales de la parábola
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

Designando por F y r el foco y la directriz de la parábola, respectivamente. La recta que pasa por F y coincide con el eje de coordenadas x, y es perpendicular a r, sellama eje de la parábola.
Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF y que está sobre la parábola se llama vértice.
El segmento de recta BB´ que une dos puntos cualesquiera de la parábola recibe el nombre de cuerda, y en particular una cuerda que pase por el foco de la parábola como CC´ se llama cuerda focal.
En la gráfica el segmento LL´...