Hgnjgh

SOLUCIONARI DE LA GUIA DIDÀCTICA

GD

223

  6. Determina els valors de n pels quals la recta 3x 1 y 2 n 5 0  10. El semieix real d’una hipèrbola és 6 i la semidistància focal,  és tangent a la circumferència d’equació x2 1 y2 2 2x 5 0. 12. Determina’n l’equació reduïda. Tenim el sistema: 3 x + y − n = 0   2 2   x + y − 2x = 0 Ha de tenir una única solució: y 5 –3x1n Substituïm al’altra equació: x 2 + (−3 x + n ) − 2 x = 0
2

a56,

c512

c 2 = a2 + b2 122 = 62 + b2 → b2 = 144 − 36 = 108 L’equació reduïda és: x2 y2 − =1 2 6 108 x2 y2 − =1 36 108

x 2 + 9 x 2 − 6 xn + n2 − 2 x = 0 10 x 2 + (−6n − 2) x + n2 = 0 El discriminant ha de ser 0: ∆ = b2 − 4ac = (−6n − 2) − 4 ⋅ 10 ⋅ n2 = 0
2

Avaluació
  1.  La circumferència C passa pel punt A(4, 0) i és tangent a la recta y 5 x  en el punt B(4, 4). a) Determina  l’equació  de  la  recta  que  passa  per  B  i  pel  centre de la circumferència C. La recta determinada pel punt B i el centre de la circumferència i la recta tangent a aquesta circumferència en el punt B són perpendiculars. Per tant, el pendent d’aquesta recta és 21 i la seva equació serà y − 4 = − ( x − 4 ) (passa pel punt B (4, 4)).b) Troba el centre de C i calcula el seu radi. Els punts P que equidisten d’A i B són els de la forma P(x, 2) per a qualsevol valor d’x. Per tant, el centre de la circumferència està en la recta y − 4 = − ( x − 4 ) i és de la forma (x, 2). Amb això obtenim que aquest centre ha de ser el punt (6,2). El radi r de la circumferència serà la distància d’aquest punt a A o B que resulta:
2 2

36n2 + 24n + 4 − 40n2 = 0 −4n + 24n + 4 = 02

n=

6 ± 36 + 4 6 ± 40 6 ± 2 10 = = = 3 ± 10 2 2 2

  7.  Calcula  la  potència  del  punt  P(1,  22)  respecte  d’una  circumferència de centre el punt (22, 3) i radi 3. Quina és  la posició del punt respecte de la circumferència? L’equació de la circumferència és:

( x + 2) + ( y − 3) = 32 2 2 ( x + 2) + ( y − 3) − 9 = 0
2 2

Aleshores, p = (1 + 2) + (−2 − 3) − 9 = 32 + (−5 ) − 9 =9 + 25 − 9 = 25 > 0
2 2 2

el punt és exterior a la circumferència.

r = (6 − 4 ) + (2 − 0 ) = 8 = 2 2 .   8. Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen  de coordenades, l’eix és la recta x 5 0 i conté el punt (4,  21).   2.  Considera  en  el  pla  els  punts  P(1,  –1)  i  Q(3,  5)  i  la  2 recta  r d’equació  x 1 y 1 2  5  0.  Calcula  l’equació  de  la L’equació de la paràbola és del tipus x = −2py circumferència que passa per P i Q i que té el centre a r.  Substituïm el punt: Com que el centre pertany a la recta x 1 y 1 2 5 0, és un punt 42 = −2p ⋅ (−1) del tipus C(x, 2x22). 16 = 2p Imposem la condició: p=8 d (P , C ) = d (Q, C ) 2 Aleshores, l’equació és x = −16 y 2 2 2 2 (1 − x ) + (−1 + x + 2) = (3 − x ) + (5 + x + 2)   9.Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el·lipse  d’equació: Si elevem al quadrat,

(1 − x ) + (1 + x )
2

2

= (3 − x ) + (7 + x )
2

2

a2 = 16

L’equació de la circumferència principal és x 2 + y 2 = a2 → x 2 + y 2 = 16

x 2 − 2 x + 1 + x 2 + 2 x + 1 = x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 14 x + 49 56 8 x + 56 = 0 → x = − = −7 8 Aleshores, C (−7, +7 − 2) = (−7,5 ) .

217-224_Sol-Mates-1-cat.indd 223

20/2/0820:13:43

224

GD

SOLUCIONARI DE LA GUIA DIDÀCTICA

Ara trobem el radi: r = d (P , C ) =

L’equació de la recta tangent és y − 1 = mx .
2 2

(1 + 7) + (−1 − 5)

= 8 + (−6 ) = 64 + 36 = 100 = 10 Hem de resoldre el sistema:
2 2

(−6)

2

= 64 + 36 = 100 = 10 . En conseqüència l’equació de la circumferència és:

( x + 7) + ( y − 5)
2

2

= 100 .

 y − 1 = mx → y = mx + 1  2   y = 2x + x + 1 Igualem:
2 2 mx  y − 1 = mx → y = mx + 1 = 2 x + x + 1 → 2 x + (1 − m ) x = 0   2 Pel fet de ser tangent, el discriminant ha de ser 0:   y = 2x + x + 1

  3.  Considera la circumferència del pla d’equació   x2 1 y2 2 6x 1 4y 1 8 5 0 a) Calcula’n el centre i el radi.

∆ = 0 → ∆ = (1 − m ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 0 = 0 → ∆ = m2 − 2m + 1 = 0 → m =...