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Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Una parábola es el lugar geométrico de lospuntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.



Elementos de la parábola
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fijad.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto de intersección de laparábola con su eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
Historia
La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en suestudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormentepor Proclo y Eratóstenes.3
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudiode las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la parábola
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usandonuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de  es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendoarroja la expresión moderna y=ax².


Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola verticalpara cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene...