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Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo Diferencial e Integral 09-2

Examen
P1. En un cuadrado de lado 2a se inscriben dos circunferenciasde radios r1 y r2 , centradas en la diagonal
del cuadrado, tangentes entre si y ambas tangentes al cuadrado (ver figura).

(i) (0,5 ptos.) Demuestre que r1 +r2 =

4a
√ .
2+ 2

(ii) (2,5ptos.) Determine los valores de r1 y
r2 de modo que la suma de las áreas de
ambos círculos sea máxima. Justifique.

P2. a) (1,0 pto.) Probar que la ecuación

Ê Ê

Ê

x t2
0 e dt
2

= 1 tienesolución única en el intervalo [0, 1]. Justifique.

b) (1,0 pto.) Sea f : → de clase C (dos veces derivable con derivada continua) tal que |f (0)| ≤ M ,
|f (2)| ≤ M y |f (x)| ≤ K, ∀x ∈ [0, 2] dondeK, M ∈ + fijos. Demuestre que |f (0)| ≤ M + K.
Indicación: Use un desarrollo de Taylor para f .
P3. Sean f :

Ê

Ê → Ê integrable y F : Ê → Ê definida por
F (x) =

1
x

Ê

x
0 f (t)dt

f(0)

si x = 0
si x = 0

(i) (1,5 ptos.) Probar que si f es continua en 0, entonces F es continua en
(ii) (1,5 ptos.) Probar que si f es continua en
además F (0) = 1 f (0).
2

Ê.

Ê yderivable en 0, entonces F

es derivable en

Êy

P4. (2,0 ptos.) Sea f una función no negativa y continua en [0, ∞]. Para cada x ≥ 0 se considera el sólido
cuya base es la región limitada por elgráfico de f y el eje OX en el intervalo [0, x] y tal que las secciones
del sólido perpendiculares al eje OX son cuadrados. Sabiendo que el volumen de dicho sólido está dado
por:
V (x) = x3 − 2x cos(x)+ (2 − x2 ) sen(x)
se pide obtener la función f (x).
P5.

È

(i) (1,5 ptos.) Sea (an )n∈Æ una sucesión de términos positivos. Demuestre que si la serie
converge, entonces n≥0 an converge.

Êde la integral

È
f (x)dx y de la serie

∞
1

√
x

e−1
es
x
e1/n −1
.
n≥1
n

(ii) (1,5 ptos.) Sabiendo que la función f (x) =

È

an
n≥0 1+an

decreciente en [1, ∞],...