Hidro

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MERIDA

ALUMNO:


Maestro:


METODOS NUMERICOS

TAREA DE INVESTIGACION

MULTIPLICACION DE MATRICES
 la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición esinstrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:
 que se escribe genericamente como 
lamultiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:
 que se escribe genericamente como 
En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

[editar]Propiedades
Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:Propiedad | Descripción |
Clausura | cA es también una matriz |
Elemento neutro | Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A |
Propiedad asociativa | (cd)A = c(dA) |
Propiedad distributiva
- De escalar
- De matriz |
c(A+B) = cA+cB
(c+d)A = cA+dA |

MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR OTRA.
adas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual alnúmero de filas de la matriz B; es decir:
 y 
la multiplicación de A por B, que se denota  o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

donde cada elemento ci,j está definido por:

es decir:
   
Propiedades
Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un grupo donde lamultiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad | Descripción |
Clausura | AB es también una matriz |
Elemento neutro | Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que: I·A = A·I = A |
Propiedad asociativa | (AB)C =A(BC) |
Propiedad distributiva
- Por la derecha
- Por la izquierda |
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB |

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD ASOCIATIVA

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.
    y por el contrario    
La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo,existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.
Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices:
    

APLICACIONES
La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dadoque son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. Elcálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuaciones
Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n= m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, el sistema:
|    se escribe de forma matricial así:      | |
Como se ve, en la notación matricial, las variables sólo aparecen una vez, así como...