Hidrocarburos

Cap´ ıtulo 4 Las Funciones Trigonom´tricas e Inversas
4.1. Relaciones y sus inversas

Recordemos que una relaci´n es un subconjunto de un producto cartesiano, o es decir R ⊆ A × B o bien R : A −→ B, en tanto que su relaci´n inversa o −1 R : B −→ A, o bien R−1 = {(y, x) / (x, y) ∈ R} El gr´fico de R esta dado por el conjunto de puntos a {(x, y) / x ∈ DomR; y el de su relaci´n inversa o {(y, x)/ y ∈ Dom R−1 ; (x, y) ∈ R} (x, y) ∈ R}

note que Dom R = Rec R−1 ∧ Dom R−1 = Rec R ver gr´fico a

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Conservando la variable x, siempre para el dominio y la variable y para el recorrido, tenemos R−1 = {(x, y) / x ∈ Dom R−1 ; (y, x) ∈ R}

as´ Dom R−1 ⊆ eje X ∧ Rec R−1 ⊆ eje Y , por tanto gr´ficamente ı a

Del gr´fico seobtiene: a Dom R = Rec R−1 = [a, b]; Rec R = Dom R−1 = [c, d], a, b ∈ R c, d ∈ R

Por tanto los gr´ficos de R y R−1 son sim´tricos uno de otro con respecto a e a la recta bisectriz del 1er. cuadrante.

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4.2.

Gr´fico de la Relaci´n inversa del seno a o

En base a lo anterior podemos trazar la gr´fica de la relaci´n inversade a o y = sen x (haciendo la simetr´ con respecto a la recta y = x, del gr´fico ıa a del seno)

De inmediato del gr´fico confirmamos que se trata de una relaci´n inversa a o −1 y no de una funci´n, pues ∀ x ∈ Dom R existen varios y con y ∈ R. o Notaci´n o A la relaci´n inversa del seno se acostumbra en denotar por: y = Sen−1 x o o bien y = Arcsen x para ambos casos se tiene que x = sen y Como −1≤ sen y ≤ 1, ∀ y ∈ R =⇒ Dom R−1 = [−1, 1] y por tanto Rec R−1 = R. Pero nuestro fin es hablar de la funci´n inversa del seno por tanto reo stringiendo el recorrido de la relaci´n inversa del seno (o bien el dominio de o la funci´n seno ), podemos obtener ”funciones”inversas del seno seg´ n estos o u intervalos (o ramas) restringidas.

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4.3.

Definiciones de las funciones trigonom´trie cas inversas y sus gr´ficos a

Funci´n inversa del seno o Se define la funci´n inversa del seno en cualquier intervalo restringido, por: o π π f : [−1, 1] −→ (2k − 1) , (2k + 1) , 2 2 k ∈ Z, tal que

y = f (x) = sen−1 x = arcsen x ⇐⇒ x = sen y. π π Si k = 0, f : [−1, 1] −→ − , ; se acostumbra a llamar intervalo prin2 2 cipal y sedenotar´ por: a y = Sen−1 x = Arcsen x π π Note que Dom f = [−1, 1] y Rec f = − , 2 2 Si k = 0, se acostumbra a llamar, inversa del seno en un intervalo secundario, que se denotar´ por y = arcsen x = sen−1 x. a Daremos a continuaci´n algunas inversas del seno en un intervalo secundario o k = 1, π 3π f : [−1, 1] −→ − , , 2 2 f : [−1, 1] −→ − 3π 5π , , 2 2 f (x) = sen−1 x

k = 2, etc... Observaci´n of (x) = sen−1 x

Una vez m´s notemos que el dominio de cualquier funci´n inversa del seno a o es: [−1, 1] lo que cambia es su recorrido

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funci´n inversa del seno o en su intervalo principal Funci´n inversa del coseno o

funci´n inversa del seno o en uno de sus intervalos secundarios

Sup´ngase que hicimos las mismasconsideraciones que para la inversa del o seno, es decir el gr´fico de su relaci´n inversa y las rectricciones convenientes a o y necesarias. Asi, definimos la funci´n inversa del coseno en cualquier intervalo, por: o f : [−1, 1] −→ [kπ, (k + 1)π], k ∈ Z, tal que

y = f (x) = cos−1 x = arccosx ⇐⇒ x = cos y Si k = 0, f : [−1, 1] −→ [0, π], se llama inversa del coseno en su intervalo principal yse denotar´ por: a y = Cos−1 x = Arccosx Notemos que Dom f = [−1, 1] y Rec f = [0, π] ∀k ∈ Z, k = 0, se acostumbra a llamar, inversa de coseno en un intervalo secundario, que se denotar´ por y = arccosx = cos−1 x a Tambien igual que para la inversa del seno e dominio para cualquier funci´n o inversa del coseno es [−1, 1] y su recorrido es el que var´ ıa.

Luis Zegarra A.

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