Hidrodinamica

HIDRODINAMICA

Objetivos

* Hallar la dependencia de la velocidad de salida del agua de un recipiente con la altura de la salida del agua hasta el nivel máximo.
* Hallar la dependencia del tiempo de vaciado de un depósito contra la altura del nivel del agua.

Marco Teórico

Teorema de Bernoulli:

El Teorema de Bernoulli es el principal teorema de la Hidrodinámica de la dinámicade fluidos, presentado por él en su obra Hidrodinámica. A partir del trabajo realizado sobre una porción de líquido incompresible que viaja por distintas secciones con distinta velocidad, el trabajo externo se comunica al fluido en forma de energías cinética y potencial. Relaciona la altura del fluido, su presión y su velocidad de manera que su conjunto sea constante. Un cálculo sencillo nos llevaa la fórmula de conservación:

V12∙d2+ P1+d∙g∙h1=V22∙d2+P2+d∙g∙h2

Donde “V” es la velocidad, “d” la densidad, “P” la presión, “g” la aceleración de la gravedad y “h” la altura. Destacamos por tanto la constancia de la expresión

V2∙d2+P+d∙g∙h=K

Tiro parabólico horizontal

Desde la época renacentista, a partir de los estudios del matemático Tartaglia, es conocido que la trayectoria deun proyectil al que se le imprime un ímpetu horizontal, impacta en un punto del suelo situado a una distancia “x” de la base desde una altura “y”. Unos cálculos elementales dan las expresiones:

y=12gt2→t=2yg
x=vxt→vx=v=xt=cte

De lo que se implica que conocidos los distintos alcances horizontales, sería posible calcular la velocidad de salida en el orificio, objetivo de nuestra investigación.La aplicación de este estudio a una partícula puntual en el caso de un chorro líquido, no es tan trivial como parece para un sistema casi continuo (un análisis con luz estroboscópica muestra que un chorro está compuesto por gotas individuales en gran parte).

Ley de la Continuidad

La Ley de la Continuidad no es más que la ley de la conservación de la masa aplicada a los fluidos (supuestosincompresibles). Expresa la igualdad de los caudales en los puntos 1 y 2,Q1=Q2→S1∙V1=S2∙V2, donde “Q” es el caudal, “S” la sección y “V” la velocidad.

Teorema de Torricelli

El Teorema de Torricelli es una aproximación de Bernoulli al caso de un recipiente con una superficie externa lo suficientemente extensa para suponer despreciable la velocidad de descenso de su nivel. Relaciona lavelocidad de caída y la altura del orificio de salida. Su expresión matemática es:

v2=2gh
Veamos su deducción:

A partir del Teorema de Bernoulli, de la constancia de las cargas de presión entre dos puntos del mismo fluido, si en el dibujo de la izquierda aceptamos que la presión en A y en B es igual a la atmosférica, que la diferencia de altura entre A y B es h, que corresponde con la altura dela columna de agua, y que la velocidad de A sea despreciable en comparación con la de B, deducimos el siguiente desarrollo:

VA2∙d2+PA+dghA=VB2∙d2+PB+dghB
VA2∙d2+PA+dg(hA-hB)=VB2∙d2+PB
VA2∙d2+PA+dgh=VB2∙d2+PB
VA2∙d2+PA-PB+dgh=VB2∙d2
2d∙VA2∙d2+2d∙(PA-PB)+2d∙dgh=2d∙VB2∙d2
VB2=VA2+ 2(PA-PB)d+2gh
VB2=VA2+2gh
VB2=2gh

En definitiva, a medida que descienda el punto A (o la altura, y con ellala presión, de la columna de agua), la velocidad de salida en B se reducirá en la misma proporción. Se observa, al menos en teoría, que la velocidad de salida sólo depende de la diferencia de alturas entre la superficie y el orificio. En la realidad, en algunos casos hay que tener en cuenta las progresivas pérdidas de carga debidas a los rozamientos en el agujero según disminuye su sección, y a lacontracción de la vena líquida. De hecho, un grifo que se cierra progresivamente, disminuye tanto el caudal como la velocidad de salida del líquido.

Los tópicos de las velocidades de salida implicadas en la experiencia

Como vemos, el tema es bastante más complicado de lo que aparece en los textos de los primeros cursos universitarios.

De una parte, la aproximación de Torricelli que...