hidrologia

Facultad de Ingeniería Civil


Método Predictor-Corrector
(Euler y Euler Mejorado)

TERCER AÑO “A

AÑO LECTIVO
2013 -2014OBJETIVO:

Aprender a emplear las formulas del método predictor corrector para desarrollar ecuaciones diferenciales de una manera más fácil.



INTRODUCCIÓN:

Este método tieneuna ventaja de la simplicidad y un estudio cuidadoso de este método da una comprensión para desarrollar las ecuaciones diferenciales.



















Desarrollo:
2 Métodode Euler

Dado el problema de valor inicial

⎧ dy
= f (x, y), dx
⎩⎪ y(a) = ya, x ∈ [a, b].

el método de Euler de n pasos queda definido por
½ y¯0 = ya ,
y¯j+1 = y¯j + hf (xj , y¯j ),j = 0, 1,.. .,n − 1,
donde


y

h = b − a , n
x0 = a, x1 = a + h,.. ., xj = a + jh,. .., xn = a + nh = b.

Ejemplo 2.1 Dado el problema de valor inicial
½ y0 + y − x − 1 = 0,
y(0)= 1, x ∈ [0, 0.5].

1. Aproxima la solución usando el método de Euler de 5 pasos.

2. Calcula la solución exacta.
3. Calcula los errores de truncamiento locales y el error detruncamiento global.


En primer lugar, escribimos la ecuación diferencial en forma normal

y0 = f (x, y),

y0 = x − y + 1.

A partir de la forma normal, identificamos f (x, y)

f (x, y) = x− y + 1.

Para n = 5, el tamaño de paso es

0.5 − 0


los nodos son
h = = 0.1,
5

x0 = 0, x1 = 0.1, x2 = 0.2, x3 = 0.3, x4 = 0.4, x5 = 0.5.

El método deEuler es
½ y¯0 = 1,
y¯j+1 = y¯j + 0.1 (xj − y¯j + 1) , j = 0, 1, ..., 4.
I Iteraciones
Fase 0.


Fase 1.
x0 = 0 ¾



x0 = 0,



y¯0 = y(x0) = 1.
y¯0 = 1

Fase 2.
x1 =0.1 ¾
y¯1 = 1

Fase 3.
⇒ y¯1 = y¯0 + h (x0 − y¯0 + 1) = 1+ 0.1 (0 − 1+ 1) = 1.




⇒ y¯2 = y¯1 + h (x1 − y¯1 + 1) = 1 + 0.1 (0.1 − 1+ 1) = 1.01.




Fase 4.
x2 = 0.2 ¾
y¯2...