Hidrologia

HIDROLOGÍA


1. La tabla siguiente muestra los estadísticos principales de los caudales medios mensuales en Diciembre y los logaritmos naturales de los valores observados en los últimos 20 años en el Río Ñuble en San Fabián.

|Estadístico |Caudales (m3/s) |
|Promedio |93.9 |
|Desviación estándar|52.1 |
|Coeficiente de asimetría |1.2 |

a) Calcular los parámetros de los modelos log-normal-2 y valores extremos I (VE I) para representar esta muestra usando el método de los momentos.
b) Encontrar la expresión para el factor de frecuencia de la distribución VE I en función del período de retorno suponiendo que lamuestra es de tamaño infinito.
c) Estimar el valor del caudal de modo que la probabilidad que se sobrepase dicho valor durante los próximos 50 años sea igual a 0.05. use la distribución VE I.
d) Calcular el intervalo de confianza de 80%, el error estándar y el valor del caudal para un periodo de retorno de 200 años usando el modelo de distribución VE I.
e) Estimar los caudales con 25, 50 y 100años de periodo de retorno usando el modelo log-normal y VE I.

Los valores de la variable normal estandarizada (N(0,1)) son los siguientes para diferentes probabilidades de no excedencia.

|Variable (Z) |Prob. de no excedencia |
|0.84 |0.8 |
|1.29 |0.9 |
|1.65|0.95 |
|1.76 |0.96 |
|2.06 |0.98 |
|2.33 |0.99 |

Solución:
a) El modelo de distribución log-normal-2 tiene la siguiente distribución acumulada:

[pic], [pic]

Los parámetros involucrados que se obtienen apartir del método de los momentos se calculan con los estadísticos de la muestra:

[pic]
[pic]
[pic]

Por lo tanto, para este caso, los parámetros del modelo log-normal-2 son: [pic] y [pic].

El modelo de distribución de valores extremos tipo I tiene la siguiente distribución acumulada:

[pic], [pic], [pic]

Los parámetros involucrados que se obtienen a partir del método de losmomentos se calculan con los estadísticos de la muestra:

[pic]
[pic]

Por lo tanto, para este caso, los parámetros del modelo VE I son: [pic] y [pic].

b) El factor de frecuencia es [pic] y se obtiene despejando x de la función de distribución de VE I:

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

c) El riesgo de falla de una obra (R) se relaciona con el período de retorno (Tr) y con la duración de la obra(n) de la siguiente manera:

[pic]

Despejando el período de retorno se tiene:

[pic]

Reemplazando, el período de retorno de la crecida es [pic] años. Luego: [pic] y el caudal correspondiente según el modelo de VE I es 349.82 m3/s.

d) El error estándar del modelo de VE I es: [pic] donde el valor de kp es el mismo obtenido en la parte b). Se pide obtener los caudales para 200 años deperíodo de retorno, por lo que el valor de kp para este caso es 3.679. Reemplazando en la ecuación del error estándar, se obtiene [pic]. Para 200 años de período de retorno el modelo VE I entrega un caudal de 285.57 m3/s, con lo que finalmente el intervalo de confianza de 80% es: [pic] o sea (218.13, 352.67)

e) Se aplican los modelos a cada período de retorno dados los parámetros calculados en laparte a) y se obtienen los siguientes resultados:

|Tr (años) |Modelo VE I |Modelo log-normal-2 |
| |XT |YT |XT |
|25 |200.3 |5.364 |213.6 |
|50 |228.3 |5.527 |251.4 |
|100 |257.2...