Hilbert Pensamiento axiomático

Pensamiento Axiomático
David Hilbert
A la manera como en la vida de los pueblos un pueblo particular puede
prosperar tan sólo si están bien los pueblos vecinos, y como el interés de los Estados
exige que reine el orden no solamente dentro de cada Estado sino también que las
relaciones de los Estados entre sí estén debidamente ordenadas, así pasa aun en la
vida de las ciencias.
Conociendoesto correctamente, los más notables cultivadores del
pensamiento matemático han demostrado siempre gran interés en las leyes y en el
orden de las ciencias vecinas y, sobre todo, han cultivado desde largo tiempo atrás, y
en favor de la matemática misma, las relaciones con las ciencias vecinas, en especial
con los grandes dominios de la física y teoría del conocimiento.
La esencia de estasrelaciones y el fundamento de su fecundidad nos
resultarán más perfectamente claros si describo a ustedes el método general de
investigación que parece prevalecer cada día más en la matemática moderna. Me
refiero al método axiomático.
Cuando yuxtaponemos los datos de un dominio científico, más o menos
comprensivo, prestamente notamos que tales datos pueden ser ordenados. Tal orden
se alcanza encada caso con la ayuda de un cierto encasillado especial de conceptos,
tal que a cada objeto particular de tal dominio científico corresponda un concepto de
tal encasillado, y a cada dato dentro del dominio científico corresponda una relación
lógica entre los conceptos.
Este encasillado especial de conceptos no es otra cosa sino la teoría de tal
dominio científico.
Así es como se coordinanlos datos geométricos para dar una geometría; los
datos aritméticos, para dar una teoría de los números; los datos estáticos, mecánicos y
electrodinámicos, para dar una teoría de la estática, mecánica y electrodinámica; o los
datos de la física de los gases, para una teoría de los gases. Igualmente pasa con los
dominios científicos de la termodinámica, de la óptica geométrica, de la teoríaelemental de la radiación, de la conducción calorífica o también con el cálculo de
probabilidades y la teoría de los conjuntos. Y hasta vale respecto de dominios
matemáticos puros especiales, cual teoría de las superficies, teoría de las ecuaciones
de Galois, teoría de los números primos, no menos que respecto de dominios
científicos, remotos respecto de las matemáticas, cual algunas secciones dela
psicofísica o teoría del dinero.
Cuando miramos de cerca una teoría determinada, advertimos siempre que
unas pocas, y características, proposiciones del dominio científico, hacen de
fundamento para la construcción del encasillado especial de los conceptos, y tales
proposiciones alcanzan, ellas solas, para construir según principios lógicos el
encasillado total.
Así basta enteramente enla geometría con el teorema de la linealidad de la
ecuación del plano y con el de la transformación ortogonal de las coordenadas del

punto para obtener la grandemente amplia ciencia de la geometría euclídea del
espacio por los medios del análisis. Para la construcción de la teoría de los números
basta con las leyes de cálculo y reglas para los números enteros. En la estática
desempeñaigual papel el teorema de paralelogramo de fuerzas; en la mecánica,
parecidamente, las ecuaciones diferenciales del movimiento de Lagrange; y, en la
electrodinámica, las ecuaciones de Maxwell, con la adición de la exigencia de la
rigidez y carga del electrón. La termodinámica se puede edificar completamente sobre
el concepto de la función de energía y la definición de temperatura y presión comoderivados de sus variables: entropía y volumen. En el centro de la teoría elemental de
la radiación se halla el teorema de Kirchhoff sobre las relaciones entre emisión y
absorción; en el cálculo de probabilidades es teorema fundamental la ley de errores de
Gauss; en la teoría de los gases, el teorema de la entropía como logaritmo negativo de
la probabilidad del estado; en la teoría de las...