Hilbert y Elementos ideales

Mathesis III 42 (2009) 239 - 263.
Impreso en México. Derechos reservados © 2009 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Hilbert y el método de los
elementos ideales
Luis Carlos Arboleda

Resumen
En el presente trabajo se revisa la cuestión del método de los elementos
ideales en el campo de estudios históricos y filosóficos sobre el formalismo de Hilbert. El propósito es dar una visión de conjunto deltrasfondo
filosófico de los ideales como instrumentos para la extensión de teorías
matemáticas. Para ello se examinan tres problemáticas que conectan
históricamente con los ideales en el pensamiento de Hilbert: método
genético y método axiomático, matemáticas de contenido y matemáticas formales, formalismo e instrumentalismo. La literatura estudiada
permite aclarar cómo la introducción de estas entidadesprefigura, en la
obra de Hilbert, el movimiento moderno de las matemáticas hacia estructuras idealizadas, y precisar la interacción que mantienen dichas estructuras entre ellas mismas y con la realidad concreta. Este trabajo
muestra que el análisis del método de los ideales contribuye a la comprensión de la naturaleza del juego recurrente entre búsqueda atemporal
de la teoría matemáticaformalmente más acabada, y constitución dinámica de objetos matemáticos mediante tematizaciones operadas sobre
dominios previos.
Abstract
The question of the method of ideal elements in the historical and philosophical studies on Hilbert’s formalism is explored here. The purpose
is to analyze the whole philosophical background of the ideals as tools
for the extension of mathematical theories. To thatpurpose we examine
three problems that historically connect with Hilbert’s thought: the genetic and axiomatic method, the mathematics of content and the formal
mathematics, and formalism and instrumentalism. The literature here
studied allows us to determine how the introduction to these theoretic
entities prefigures, in Hilbert’s work, the contemporary movement of
mathematics toward idealizedstructures, and will also help us to determine the interaction that such structures maintain with them and with
the concrete reality. This work shows that the analysis of ideals method
contribute to the understanding of the recurrent game between the
atemporal search of the mathematical theory formally achieved and the
dynamic constitution of the mathematic objects through extensions operated withinprevious domains.

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Luis Carlos Arboleda

Palabras clave: Colombia, Garavito, Vera, Bellon, Teoría de Conjuntos
Key words: Colombia, Garavito, Vera, Bellon, Set theory
MSC 2000: 01A60

Introducción
Es sabido que para Hilbert la resolución de problemas es uno de los
impulsos centrales de la creación matemática. “Por más inabordables
[…] que parezcan los problemas y por incapaces que nos sintamosante
ellos, tenemos, sin embargo, la firme convicción de que su solución
debe seguir un número finito de deducciones lógicas.” Una de las características de nuestro razonamiento matemático es un cierto ‘axioma
de resolubilidad’ que se traduce en la convicción de que toda pregunta
planteada por nuestro entendimiento debe tener solución. “Esta convicción en la resolución de todo problema matemático esun gran incentivo
para el investigador.” [Hilbert 1901, 444-445].
Un caso elemental de este axioma se manifiesta en la extensión de los
sistemas numéricos, a través de la convicción de que existe un número que
sirve de solución al problema planteado por el hecho de que una ecuación
no tiene raíz en el dominio restringido. La extensión del campo numérico,
mediante la adición sucesiva de talessoluciones (en particular, la introducción de −1 para resolver el problema de que el polinomio x2 + 1 no posea
ceros en R), tiene como último propósito la verificación del teorema fundamental del álgebra en el dominio de los números complejos (todo polinomio de grado n con coeficientes en C posee n raíces en C).
Sin embargo, el teorema fundamental del álgebra no es una ley
estándar de la aritmética,...