Hiperbola

Hipérbola

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, esigual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.



Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Lasdos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centroHistoria
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo yEratóstenes.3
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en sutratadoCónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.


Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.


Ecuación de una hipérbola con centro enel punto



Ejemplos:
a) b)

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja: Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda:

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.
Ecuaciones en coordenadas polares

Doshipérbolas y sus asíntotas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:



Hipérbola abierta de arriba a abajo:


Hipérbola abierta de noreste a suroeste:



Hipérbola abierta de noroeste a sureste:


Ecuaciones paramétricas
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

En todas lasformulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.


Imagen de sección cónica

Parábola
En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.1Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta(eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los...