hiperbola

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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

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LA
HIPÉRBOLA

7.1 DEFINICIONES
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos , es constante e igual a 2a.
La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales de la hipérbola es la
siguiente:
* La letra a representa la distancia que haydesde el centro hasta cada extremo central
de cada rama de la hipérbola. Ver la figura
7.1.

* La letra c representa la distancia que hay
desde el centro hasta cada foco.

lado recto

* La letra b representa una distancia imaginaria, la cual está regida por la relación de las
constantes a, b y c, que un poco más adelante se definirá.

eje
imaginario

b
V2

V1
f1
eje
real

ctro
en

Las características de una hipérbola mostradas
en la figura 7.1 son:
* La distancia de su centro a los focos, llamada c (minúscula).
* La distancia de su centro a los vértices, llamada a.
* Eje real: Es la distancia de un vértice hasta
el otro.
* Distancia focal: Es la distancia de un foco hasta el otro.

f2

a

c

figura 7.1

b

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LA HIPÉRBOLA

* Ejeimaginario: Es la distancia 2b. El valor de b sale de una relación pitagórica entre
las constantes a y c, dada más adelante.
* La posición del centro dada, como en todas las cónicas anteriores que poseen al menos
un término al cuadrado, por ( h, k ).
* Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje real y que pasa por lo focos.
* Eje focal: Es el eje por donde pasan los dos focos y los dosvértices.
Hay dos posibilidades de obtener una hipérbola: horizontal o vertical.
Todas esas características están dadas en la ecuación particular de la hipérbola, que de
hecho son dos, según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical.
Podrá verse que hay varios aspectos que son muy semejantes a la elipse, inclusive en la
ecuación particular existen muchas similitudes.
Existeuna relación entre las tres constantes a, b y c, que por el teorema de Pitágoras está
dada por la relación

c2 = a 2 + b2
de donde, despejando cada literal, se obtiene:

c=

a 2 + b2

a=

c2 − b2

b=

c2 − a2

A partir de las coordenadas del centro

( h, k ) , de la longitud del semieje real

a y de la

longitud del semieje imaginario b se pueden obtener o deducir todas lascaracterísticas anteriores, las cuales están dadas en la ecuación particular de la hipérbola, que de hecho son dos,
según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical.
Para saber si se trata de una hipérbola horizontal o vertical, basta observar las dos fracciones de la ecuación particular, las cuales una debe ser positiva y la otra negativa. La que queda positiva indica lavariable sobre la que está el eje focal.

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La ecuación particular de la hipérbola es:

( x − h)

2

−

a2

(y − k)

2

=1

b2

si el eje focal es horizontal

=1

si el eje focal es vertical

o bien

(y − k)
a2

2

−

( x − h)
b2

2

Como en las anteriores cónicas con términos al cuadrado, h
significa eldesplazamiento horizontal del centro y k el desplazamiento vertical del centro. El significado de las letras a y b
de los denominadores están definidos en la figura 7.1.
La hipérbola tiene asociadas dos líneas rectas a las cuales
parece irse pegando más y más la curva, sin llegar jamás a cruzarse. A esas rectas, mostradas en la figura 7.2, se les llama
asíntotas.
En general, se le da el nombre deasíntota 5 a toda línea recta
que, prolongada, se acerca continuamente a una curva sin llegar
jamás a encontrarla.

figura 7.2

Las asíntotas tienen por ecuaciones:

y−k =±

b
( x − h)
a

si el eje real es paralelo al eje X. Obsérvese que la
pendiente es m =

y−k =±

a
( x − h)
b

si el eje real es paralelo al eje Y. Obsérvese que la
pendiente es m =

5

b
a

a...