hiperbola

Hipérbola

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.
La definición de la hipérbola como lugargeométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida

 
 Definición 

Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.
 
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y supunto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.


Figura 1.
 
 
 Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)
 
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es



con eje transversal horizontal. Y



con eje transversal vertical.
 
  Los vértices están a una distancia de aunidades del centro y los focos a una distancia de   unidades del centro. Además  
 
Figura 2.
 
Resumiendo:
Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
El centro está en
Los vértices están en
Los focos están en.
Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces
El centro está en
Los vértices están en.
Los focos están en.
Una ayuda importante paratrazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a  y 2b  y centro en .El segmento recto de longitud 2b  que une se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.


 
 Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
 
Si lahipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son



y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

 
 
Observación: las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones y centro .Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.

 
 Definición (excentricidad de una hipérbola)
 La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente

 
Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de losfocos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco

 
 Teorema (propiedad de reflexión)
 
La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.


Elementos de la hipérbola:
Vértices: A y A’
 
Covértices: B y B’
 
Eje transversal: recta que contiene los focos

Eje conjugado: recta que contiene a losCovértices

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado

Aplicación de la hipérbola:
La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P,  de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. (También se puede decir que la tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios focales)  
Estapropiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.

Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una...