Hiperbola

Unidad 2 Lugares Geométricos
Sección 2.6 Hipérbolas

Hipérbolas: lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante (representada por 2a), la recta que une los dos focos se llama eje de la hipérbola y la mediatriz se llama eje conjugado de la hipérbola, el punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de lahipérbola.

[pic]
Observando la grafica tenemos que [pic], [pic], [pic] en donde F y F’ son los focos, V y V’ son los vértices, A y A’ son los puntos extremos del eje conjugado.
Por definición [pic], en donde:
[pic] y [pic], siendo las coordenadas de F(c,0) y F’(-c,0). De acuerdo a la definición tenemos que:
[pic], elevando al cuadrado ambos términos y simplificando queda:
(c2 – a2)x2 –a2y2 = a2(c2 – a2), dividiendo por a2(c2 – a2) se obtiene la ecuación [pic], como c>a, c2 – a2 es positivo. Haciendo b2 = c2 – a2 obtenemos la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje que coincide con X:

[pic], en caso de centro en el origen y eje que coincide con el eje Y tenemos le siguiente ecuación: [pic]
Vértices y focos de una hipérbola:

|Ecuación|Vértices |Focos |Asintotas |Excentricidad |Lado Recto |
|[pic] | | |[pic] | | |
| |V(±a, 0) |F(±c, 0) | |[pic] |[pic] |
|[pic] || |[pic] | | |
| |V(0, ±a) |F(0, ±c) | | | |


La excentricidad de una hipérbola debe ser mayor que 1 (e>1)

Hipérbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados (centro no coincide con elorigen).
Si se tiene una hipérbola con centro en el punto C(h, k) y su eje es paralelo al eje X su ecuación y su asintota es:

|Ecuación |Asintota |
|[pic] |[pic] |

Sise tiene una hipérbola con centro C(h, k) y su eje es paralelo al eje Y, su ecuación y su asintota es:

|Ecuación |Asintota |
|[pic] |[pic] |

Ejercicios:

1.Hallar los focos, los vértices, la excentricidad, el lado recto y las ecuaciones de las asintotas de las siguientes Hipérbolas

a) 9x2 – 4y2 = 36 Solución:

Dividiendo ambos lados por 36 se tiene;

[pic] a2 = 4 y b2 = 9 [pic] a = 2 y b = 3 [pic] V(±2,0), A(0, ±3), [pic], excentricidad [pic]

Asintotas: y = ±[pic], lado recto [pic], centro C(0,0) eje coincide con X

b) 4y2 – 2x2 = 1Solución:

[pic], centro C(0,0) eje coincide con Y, a2 = [pic]y b2 = [pic][pic] a = [pic], b = [pic], [pic], V(0,±[pic]), A(±[pic],0) la excentricidad [pic], asintotas y = ±[pic], [pic].

Ecuación general de la hipérbola: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, operando de manera similar al visto en el caso de la elipse siempre se puede llegar a uno de los tipos de la ecuación de la hipérbola.

2.Hallar la ecuación reducida de la hipérbola: 4x2 – 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0.

(4x2 – 8x) – (9y2 – 36y) + 4 = 0 ( 4(x2 – 2x) – 9(y2 – 4y) + 4 = 0

4(x2 – 2x +1 –1) – 9(y2 – 4y + 4 – 4) + 4 = 0(4(x – 1)2 – 4 – 9(y – 2)2 + 36+ 4 = 0

4(x – 1)2 – 9(y – 2)2 = – 36 ( [pic]
[pic] ( [pic]

La hipérbola tiene su eje paralelo al eje Y con centro en las coordenadas C(1,2), donde: a2 = 4 y b2 = 9 ( a =...