Hiperbola

Problemas con solución
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1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y
V2(-4, 0), respectivamente. Determinela ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.



SOLUCIÓN
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Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de lahipérbola es de la forma: .


En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .
Ahora,


Luego, las ecuaciones de lasasíntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.SOLUCIÓN
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La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:


La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el ejey


fig. 6.5.14.
En este caso: . Luego, .
Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).
Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotasson las rectas de ecuación: e .


Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entresus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.


SOLUCIÓN
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a= 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).


Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), laecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y y = 3. Esto...