Hiperbola

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Hipérbola

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos Gráficamente esto es:

P del plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.

y
B1 Pd1

d2

F2

V2

V1

F1

x

B2 d1-d2= constante

Con relación a la figura, el segmento de recta

V2V1 que pasa por los focos es el eje real. La mediatriz B2 B1 del eje real es el eje imaginario. Cada extremo del eje real V1 y V2 se llama vértice. El punto medio del

segmento F2 F1 se llama centro de la hipérbola. La distancia del centro a cada vértice se llama semieje real y 1la distancia del centro a cada extremo del eje imaginario se conoce como semieje imaginario .

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
A partir de la definición de la hipérbola y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una hipérbola en un sistema de coordenadas rectangulares.
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Algunos textos, definen al ejereal como eje transverso y al eje imaginario como eje conjugado.

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Hipérbola

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Si los vértices se ubican en las coordenadas la siguiente forma:

F2 (− c ,0) , el eje real de la hipérbola es coincidente al eje x , y si su centro se ubica en el origen, tiene

V1 (a ,0)

y

V2 (− a ,0) ,

losfocos están en

F1 (c ,0)

y

y
P B1(0,b) d1 d2

F2(-c,0)

V2(-a,0)

V1(a,0)

F1(c,0)

x

B2(0,-b)

Si el punto

P está en cualquiera de los vértices, la diferencia de distancias d1 − d 2 da como resultado a − c − (−c − a ) , por lo que la suma constante se establece en 2a , a > 0 .

El punto P x , y pertenecerá a la hipérbola si y sólo si: por lo tanto:

(

)

d1 −d 2 = 2a ,

(x − (− c ))2 + ( y − 0 )2 − (x − c )2 + ( y − 0 )2
que equivale a:

= 2a

(x + c )2 + y 2
  

= 2a +
2

(x − c)2 + y 2
(x − c )2 + y 2  

2

elevando ambos miembros al cuadrado:

(x + c )2 + y 2  

=  2a +   

desarrollando:

(x + c)2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a
eliminando términosiguales:

(x − c )2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2

2

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Hipérbola

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2 xc = 4a 2 + 4a
que equivale a:

(x − c )2 + y 2 − 2 xc

= 4 xc − 4a 2 dividiendo todo por 4 : 4a a
a  

(x − c )2 + y 2

(x − c )2 + y 2

= xc − a 2
2

elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros:

(x − c )2 + y 2 

a 2 (x − c )2 + y 2 = xc − a 2

a 2 x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = xc − a 2
reduciendo términos semejantes:

(

(



= xc − a 2

(

)

2

) (

) (

)

2

)

2

a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 = x 2 c 2 − 2a 2 xc + a 4
a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 = x 2c 2 + a 4
invirtiendo nuevamente los miembros:

x 2c 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2
acomodandoconvenientemente:

x 2c 2 − x 2a 2 − a 2 y 2 = a 2c 2 − a 4
factorizando x

x2 c2 − a2 − a2 y2 = a2 c2 − a2
si se denota como b
2

(

)

2

en el primer miembro y a en el segundo miembro:

(

)

2

a la expresión c − b , y se sustituye se tiene que:
2 2

x 2b 2 − a 2 y 2 = a 2b 2
dividiendo por

a 2b 2 toda la expresión: x 2b 2 a 2 y 2 a 2b 2 − = a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2
x2 a2− y2 b2 =1

finalmente queda como:

ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola horizontal con centro en el origen, de semieje real a y de semieje imaginario b . Una de las asíntotas pasa por el origen y el punto

(a ,b) ,

por lo que su ecuación está dada por:

y −0 0−b b = = . La otra asíntota pasa por el origen y el punto (−a ,b ) , por lo que su ecuación...