Hiperbola

La Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) sellama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.
Construcción geometrica animada en regla y compas>>
-Construcción
Se debetomar una hoja de acetato,en ella se dibuja una circunferencia y un punto fuera de ella. Para construir una hipérbola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto de la circunferencia cada vez, tendrémos que las marcas de los dobleces han formado unahipérbola. El punto dibujado es un foco y el centro de la circunferenica es el otro foco.
Otra forma de encontrar una hipérbola es la siguiente. Se colocan dos conos unidos en su vértice y se hace un corte de base a base de los conos. El perímetro de este corte será una elipse.
-Aplicaciones
La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en direcciónde un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f'. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. El sistema de navegación loran (acrónimo de long range navigation) usa las propiedades de la reflexión de la hipérbola
Historia
El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemáticogriego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.
Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.
Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano queno es paralelo a ninguna de sus generatrices.
Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).
Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).
Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedadesinteresantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curvaque gira.
Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender unpapel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que...