Hiperbolas y Elipses

Universidad San Carlos de Guatemala
Matemática I
Sección A

INVESTIGACION DE ELIPSE E HIPERBOLAS
ELIPSE
Una elipse es una curva ovalada que parece un círculo alargado. Una elipse es el conjuntode todos los puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijo F1 y F2 es constante. Estos dos puntos fijos son los focos de la elipse.
En la ecuación estándar de una elipse,a2 es el denominador mas grande y b2 el menor. Para calcular c2 se resta el denominador menor del denominador más grande.(-c, 0)
( c, 0)
y
x
c
b
a
(0, -b)
(a, 0)
(-a, 0)
( b , 0)


Laecuación general de una elipse es Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 donde el producto de (A)(B) es mayor que 0.
Por ejemplo: 2x2 + 4y2 + 5y – 10 = 0 donde el producto de (2)(4) es 8; y 8 > 0,entonces podemos determinar que la ecuación anterior pertenece a una elipse.
La ecuación cónica de una elipse es:
x2a²+y²a²-c²=1
EJEMPLO: determine los focos, vértices de los ejes mayor y menor de lasiguiente elipse y trace su grafica.
x29+γ²4=1
SOLUCION: cuando el denominador de x2 es más grande, la elipse tiene eje mayor horizontal. De acuerdo con lo anterior a2 = 9 y b2 = 4 por lo que c2 =a2 –b2 = 9 – 4 =5. Entonces, a=3, b=2 y c=5
FOCO: (±5 , 0)
VERTICES: (±3, 0)
LONGITUD DEL EJE MAYOR 6
LONGITUD DE EJE MENOR 4
GRAFICA
F1 (-5 , 0)
y
x
3
4

F2 (5 ,0 )


HIPERBOLAUna hipérbola es el conjunto de todos los puntos en el plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F1 y F2 es constante. Esos dos puntos fijos se los focos de la hipérbola. Como la figuralo muestra a continuación.
y

P(x,y)

P está en la hipérbola si
І d(P, F1) – d(P, F2) І = 2a
F1 (-C, 0)
F2 ( C, 0 )
x

La ecuación general de la hipérbola es muy parecida a la de laelipse, Ax2 +By2 + Dx + Ey + F = 0, con la única diferencia que el producto de (A)(B) es < 0.
Por ejemplo: -2x2+3y2 +5x + 8y + 12 = 0 donde el producto de (-2)(3) = -6 , por lo tanto -6 < 0.
La...