hiperbolas

MATEMATICA BASICA
ALUMNO: HUALLPA CUPITAY FLAVIO CESAR.
I CICLO A
EJERCICIOS DE HIPERBOLAS:
1. los focos y los vértices de una Hipérbola son los puntos , , y , respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su grafica e indicar sus asíntotas.
Solución:
Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:


En este caso: y ; de dónde .En consecuencia la ecuación de la hipérbola es
Ahora,

Luego las ecuaciones de las asíntotas son:
2. sea la hipérbola cuya ecuación está dada por: . Determine; coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.
Solución:
La ecuación: puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focalcoincide con el eje Y

En este caso . Luego .
Con estos datos se tiene: , , ,
Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son:






3. Una hipérbola cuyo centro es el punto , tiene sus focos sobre la recta además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de losvértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.
Solución:
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que . Igualmente como , se sigue que y por lo tanto

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma: 

Las coordenadas de los focos son: y esto es y . Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y .Esto es, y .
Además de la ecuación: ,
se deduce que: y son las ecuaciones de las asíntotas.

4. Dada la hipérbola cuya ecuación en su forma general es: . Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas,
Solución:
La ecuación general puede escribirse en las formas equivalentes:





Además , con lo cual
Las coordenadas de los focos son e . Esto es yIgualmente, las coordenadas de los vértices son e , esto es y .
Las ecuaciones de las asíntotas son: e


EJERCICIOS DE ELIPSE:
1. (6) Los focos de una elipse son los puntos y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es 9. Hallar la ecuación de la elipse.
SOLUCION:
Como entonces c=3 además
También




2. (7) El centro de una elipse es (2,-4) encontrar su ecuación si elvértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos (-2,4) y (-1,-4) respectivamente.
SOLUCION:
Si el foco y el vértice pertenecen al eje focal que es paralelo al eje X la ecuación de la elipse será de la forma:
Donde “a” es mayor que “b”

Además:




3. (5) Encontrar las coordenadas de los focos y la longitud de los ejes de la elipse de la ecuación .
SOLUCIÓN:Eje mayor = ; eje menor =

4. (3) Determinar las coordenadas de los vértices al eje focal y la excentricidad de la elipse definida por:
SOLUCIÓN:







Además:

Excentricidad:




EJERCICIOS DE PARÁBOLA:
1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en y su dirección DD es la recta de ecuación .
SOLUCION:
Deacuerdo a la definición, un punto pero, y
Luego:
Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:


De donde es la ecuación de la parábola pedida.











2. Dada la parábola que tiene por ecuación encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.
SOLUCION:
La ecuación tiene la forma de laecuación (4) del teorema I. Entonces, de donde menor que 0.

Como P es menor que 0, la parábola se abre hacia abajo.
El foco se encuentra en el eje y en el punto
La ecuación de la directriz de la recta es la recta es decir




3. Dado el punto del plano con mayor que 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola .
SOLUCION:
Como se sigue que el punto satisface la ecuación de...