Hiperbolica

La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface sólo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclideana y lageometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante:
La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tienecurvatura positiva.
Historia
Desde antiguo se realizaron esfuerzos por deducir el quinto postulado de Euclides referente a las paralelas de los otros cuatro. Uno de los intentos más amplios y ambiciosos fue el de Giovanni Gerolamo Saccheri en el siglo XVIII quien, contradictoriamente creó lo que podríamos considerar modelo incipiente de geometría hiperbólica. Sin embargo,Saccheri creyó que no era consistente y no llegó a formalizar todos los aspectos de su trabajo. También Johann Heinrich Lambert encontró algunas fórmulas interesantes referentes a lo que hoy llamaríamos triángulos de la geometría hiperbólica, probando que la suma de los ángulos es siempre menor que 180º (o π radianes), la fórmula de Lambert establecía que para uno de estos triángulosse cumplía:
{draw:frame}
Donde:
{draw:frame} , es la suma de los ángulos del triángulo (expresada en radianes).
{draw:frame} , es el área total del triángulo.
{draw:frame} es una constante de proporcionalidad positiva relacionada con la curvatura constante del espacio hiperbólico en que se halla inmerso el triángulo.
Más adelante CarlFriedrich Gauss trabajó en un modelo similar pero no publicó sus resultados. En los años 1820 dos jóvenes matemáticos que trabajaban de modo independiente, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky, publicaron sus modelos por los cuales establecían la posibilidad de un tipo de geometría alternativa, totalmente consistente, que es el que conocemos como geometría hiperbólica.Introducción
Paralelas en la geometría hiperbólica

Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R

Un triángulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperbólico), así como dos rectas paralelas divergentes.
El axioma de Bolyai, equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice que «_dada una recta_ r y un punto P externo a ella, hayuna y sólo una recta que pasa por P _que no intersecta a 'r''_». Comúnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela" a través de P.
En geometría hiperbólica, este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r. De hecho para la geometría hiperbólica es posible demostrar una interesante propiedad:hay dos clases de rectas que no intersecan a la recta r. Sea B un punto que pertenece a r tal que la recta PB es perpendicular a r. Considere la recta l que pasa por P, tal que l no interseca a r y el ángulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde PB) es lo más pequeño posible (es decir, cualquier ángulo más pequeño que theta, forzará a la recta a intersecar a r).Esta (l) , es denominada recta hiperparalela (o simplemente, recta paralela) en la geometría hiperbólica.
En forma similar, la recta m que forma el mismo ángulo theta entre PB y ella misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde PB, también será hiperparalela, pero no pueden haber otras. Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r, forman ángulos más...