Hiperbolicas

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

JUAN MANUEL PÉREZ DELGADO

LAS FUNCIONES
HIPERBÓLICAS
Por Juan Manuel PÉREZ DELGADO

1. Interpretación geométrica del argumento de las
funciones hiperbólicas.
2. La definición de las funciones hiperbólicas.
3. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos.
4. Relaciones entre las funciones hiperbólicas y circulares.

MATEMÁTICA.

SEPTIEMBRE, 2003LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

1. Interpretación
hiperbólicas:

JUAN MANUEL PÉREZ DELGADO

geométrica

del

argumento

de

las

funciones

Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es
el “ángulo central AOC = α” con origen en el centro de la circunferencia y medido
desde el semieje positivo de abcisas en el sentido contrario a las agujas delreloj,
para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumento porque le
faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones circulares.
Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones circulares
un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central
FOC=”2α”, puesto que de la circunferencia unidad se tiene que:
Área

=x=sen x = dis DC = sen α,

12
R 2α = α = ángulocent ralmitad
2

cos x = dis OD = cos α,

tg x = dis AB = tg α

Traduciendo esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha
de la hipérbola equilátera x2 – y2 = 1, se obtendría:

Si llamamos dis DC = t, dis OA = c,

MATEMÁTICA.

dis AB = s se tienen los siguientes hechos:

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1º) El punto B, de coordenadas (c,s) pertenece a la hipérbola, luego

c2 − s2 = 1 .

2º) Se tiene, por el Teorema de Thales, la relación siguiente:

Si ahora calculamos el área x por métodos de cálculo integral, se tiene, con la
notación que usamos:
c

Area =" x" = s.c − 2∫ x 2 − 1.dx
1

Como una primitiva es

1
1
x 2 − 1.dx = x x 2 − 1 − Lx + x 2 − 1
2
2

∫

Se tiene:

1
1

Area =" x"= s.c −  x x 2 − 1 − L x + x 2 − 1  = s.c − c c 2 − 1 + L c + c 2 − 1 =
2
2
1
c

= L c + c2 − 1
Con lo cual obtenemos que

Area =" x"= L c + c 2 − 1

[1]

De aquí, podemos redefinir la dis OA = c, en función del área x.

x = L c + c 2 − 1 ⇒ e x = c + c 2 − 1 ⇒ e x − c = c 2 − 1 ⇒ e 2 x − 2.e x .c + c 2 = c 2 − 1 ⇒
e 2x + 1 = 2.e x .c ⇒ c =
También, a partir de [1] y de la relación

e2 x + 1 e x + e −x
=
2.e x
2

c2 − s2 = 1 :

x = L c + c 2 − 1 = L c + s = L s 2 + 1 + s , luego se obtiene que
e x = s 2 + 1 + s ⇒ e x − s = s 2 + 1 ⇒ e 2 x − e.e x .s + s 2 = s 2 + 1 ⇒
e 2 x − 1 = 2.e x .s ⇒ s =
Y por último, dado que es

t=

MATEMÁTICA.

s
=
c

t=

e2 x − 1 e x − e− x
=
2.e x
2

s:
c

c 2 −1
1
⇒ t .c = c 2 − 1 ⇒ t 2 .c 2 = c 2 − 1 ⇒ c =
c
1− t2

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Además,

t

s = c.t =

x = Lc+ s = L

1− t 2
1

1−t2

+

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, luego:

t
1− t2

=L

1+t
1− t 2

(1 + t ) 2

=

1−t

2

=

1+ t 1 1+ t
=L
1−t
2 1− t

de donde se tiene:

e 2x =

(

)

1+ t
e2 x − 1 ex − e− x
⇒ e 2 x − e 2 x .t = 1 + t ⇒ e 2 x − 1 = e 2 x + 1 .t ⇒ t = 2 x
=
1− t
e + 1 e x + e −x

MATEMÁTICA.

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2. La definición de las funciones hiperbólicas:
2.1. Definición:
De lo anterior se tiene que las fórmulas deducidas para las distancias s, c, t son,
precisamente, las definiciones formales de lasfunciones hiperbólicas.
Seno hiperbólico:

shx = s =

e x − e −x
2

chx = c =

e x + e−x
2

thx = t =

e x − e− x
e x + e −x

Coseno hiperbólico:

Tangente hiperbólica:

Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones
dependientes de la función trascendente elemental ex .
Esto no ocurre en las funciones circulares que son funciones trascendentes...