hiperbolicas

Hiperbólica paraboloides
Erik Demaine, Martin Demaine, y Anna Lubiw
Un paraboloide hiperbólico es una superficie infinita en tres dimensiones con secciones transversales hiperbólicas y parabólicas. Un par de maneras de parametrizar y escribir una ecuación es la siguiente:
z = x 2 - y 2 
o 
x = y z
Las parcelas que se muestran a la derecha utilizan la primera ecuación. (Ellos fuerongenerados usando arce .) El segundo gráfico muestra que las xy secciones transversales (es decir, las secciones transversales paralelas al plano xy) son hipérbolas. Las secciones transversales yz son copias de la misma parábola, y las secciones transversales zx son la misma parábola, pero al revés.
Hypars
Usamos el término hypar para significar una forma hiperbólica paraboloide, o más formalmente unparaboloide hiperbólico parcial, corte de la superficie infinita completo. El término hypar fue presentado por el arquitecto Heinrich Engel en 1967 sus sistemas de estructuras libro (página 215).
Estamos particularmente interesados ​​en cómo hypars se pueden unir entre sí en sus bordes para hacer interesante escultura.
Hypars en Arquitectura
Hypars y hypars unen en algunas formas especiales sehan utilizado ampliamente en la arquitectura. Por ejemplo, Estructura de 1962 el libro de Curt Siegel y el Formulario de Arquitectura Moderna (página 256) ilustra el techo de la escuela secundaria de las niñas en Londres (diseñado por Chamberlin, Powell, y Bonn), que es lo que llamamos un "5-hat" con cinco hypars separan ligeramente. Más adelante (página 264) la idea de unir dos 5-hats se sugiere,aunque los dos sombreros se cortan para tener una frontera curvada, lo que hace que sean fáciles de ensamblar. Página 260 muestra una foto del pabellón Philips en la exposición de Bruselas 1958 (diseñado por Le Corbusier), que es una bella superficie hecha de ocho o menos hypars que descansa en el suelo. Algunos ejemplos más maravillosos con fronteras rectas están ilustrados por Heinrich Engel ensu libro mencionado anteriormente (páginas 228 a 229), cada uno involucrando entre cinco y doce hypars.Por último, una red de conexión "4-hats" es ilustrado y analizado por Frei Otto en los 1969 Estructuras libro de tracción (volumen 2, página 64).
Plegable plisado hypars
Es increíblemente fácil de plegar un paraboloide hiperbólico de un trozo cuadrado de papel. (Y así es como empezó a jugar conla unión hypars juntos.) Si doblas las diagonales de un cuadrado, y varios cuadrados concéntricos en dirección alterna (un cuadrado de pliegues montañosos, a continuación, un cuadrado de pliegues de valle, y así sucesivamente), a continuación, la hoja de papel se forma naturalmente una forma paraboloide hiperbólico plisada.
Más detallados diagramas están disponibles.
Sombreros
Hay muchasmaneras de pegar hypars juntos de borde a borde. Un método, que llamamos un k-hat, es pegar khypars juntos en una especie de anillo. Por ejemplo, aquí es una fotografía de un 4-hat:

En particular, se puede cerrar una k HAT hasta sobre sí misma para hacer un k -star. Aquí está una fotografía de un 5 estrellas, que he usado con éxito en un árbol de Navidad:


Hyparhedra
Hemos desarrolladoalgoritmos para la construcción de hypar "esculturas" con base en los poliedros. Nosotros llamamos a estas estructuras hyparhedra. Por favor, consulte el documento a continuación para obtener detalles sobre los algoritmos. Por ahora, esta página contiene fotografías de algunos ejemplos. Los cinco primero que surge de los sólidos platónicos:
Tetraedro 

Cube 
 
Octaedro 

Dodecahedron 

Icosaedro El último surge de un (degenerado) triángulo doblemente cubierto: 

Referencias
Este material está basado en el papel " Esculturas poliédricos con hiperbólica paraboloides ", que fue presentado en la segunda Conferencia Anual de BRIDGES: Conexiones matemáticos en Arte, Música y Ciencia , 1999 Consulte este documento para obtener más detalles sobre el asunto de referencia .
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