Hiperbolicas

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

JUAN MANUEL PÉREZ DELGADO

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Por Juan Manuel PÉREZ DELGADO

1. Interpretación geométrica del argumento de las funciones hiperbólicas. 2. La definición de las funciones hiperbólicas. 3. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos. 4. Relaciones entre las funciones hiperbólicas y circulares.

MATEMÁTICA.

SEPTIEMBRE, 2003

LASFUNCIONES HIPERBÓLICAS

JUAN MANUEL PÉREZ DELGADO

1. Interpretación hiperbólicas:

geométrica

del

argumento

de

las

funciones

Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es el “ángulo central AOC = α” con origen en el centro de la circunferencia y medido desde el semieje positivo de abcisas en el sentido contrario a las agujas del reloj,para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumento porque le faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones circulares. Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones circulares un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central FOC=”2α”, puesto que de la circunferencia unidad se tiene que: Área

=x=

1 2 R 2α =α = ángulocent ralmitad 2

sen x = dis DC = sen α,

cos x = dis OD = cos α,

tg x = dis AB = tg α

Traduciendo esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha de la hipérbola equilátera x2 – y2 = 1, se obtendría:

Si llamamos dis DC = t, dis OA = c,

dis AB = s se tienen los siguientes hechos:

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1º) El punto B, de coordenadas (c,s) pertenece a la hipérbola, luego 2º) Se tiene, por el Teorema de Thales, la relación siguiente:

c2 − s2 = 1 .

Si ahora calculamos el área x por métodos de cálculo integral, se tiene, con la notación que usamos:

Area =" x" = s.c − 2∫ x 2 − 1.dx
1

c

Como una primitiva es Se tiene:

∫

1 1 x 2 − 1.dx = x x 2 − 1 − L x + x2 − 1 2 2
c

1 1  Area =" x"= s.c −  x x 2 − 1 − L x + x 2 − 1  = s.c − c c 2 − 1 + L c + c 2 − 1 = 2 2 1 = L c + c2 − 1
Con lo cual obtenemos que

Area =" x"= L c + c 2 − 1

[1]

De aquí, podemos redefinir la dis OA = c, en función del área x.

x = L c + c 2 − 1 ⇒ e x = c + c 2 − 1 ⇒ e x − c = c 2 − 1 ⇒ e 2 x − 2.e x .c + c 2 = c 2 − 1 ⇒ e 2 x + 1 = 2.e x .c ⇒ c =
También, apartir de [1] y de la relación

e2 x + 1 e x + e −x = 2.e x 2

c2 − s2 = 1 :

x = L c + c 2 − 1 = L c + s = L s 2 + 1 + s , luego se obtiene que e x = s 2 + 1 + s ⇒ e x − s = s 2 + 1 ⇒ e 2 x − e.e x .s + s 2 = s 2 + 1 ⇒ e 2 x − 1 = 2.e x .s ⇒ s =
Y por último, dado que es

e2 x − 1 e x − e− x = 2.e x 2

t=

s : c

t=

s = c

c 2 −1 1 ⇒ t .c = c 2 − 1 ⇒ t 2 .c 2 = c 2 − 1 ⇒ c = c1− t2

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Además,

s = c.t =

t 1− t 2 1 +

, luego:

x = Lc+ s = L

t 1− t2

1−t2

=L

1+t 1− t 2

=

(1 + t ) 2
1−t
2

=

1+ t 1 1+ t = L 1−t 2 1− t

de donde se tiene:

e 2x =

1+ t e2 x − 1 e x − e− x ⇒ e 2 x − e 2 x .t = 1 + t ⇒ e 2 x − 1 = e 2 x + 1 .t ⇒ t = 2 x = 1−t e + 1 e x + e −x

(

)

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2. La definición de las funciones hiperbólicas: 2.1. Definición: De lo anterior se tiene que las fórmulas deducidas para las distancias s, c, t son, precisamente, las definiciones formales de las funciones hiperbólicas. Seno hiperbólico:

shx = s =
Coseno hiperbólico:e x − e −x 2 e x + e−x 2 e x − e− x e x + e −x

chx = c =
Tangente hiperbólica:

thx = t =

Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente elemental ex . Esto no ocurre en las funciones circulares que son funciones trascendentes elementales, independientes de la función exponencial, en el campo real. Sin embargo, como...