Hipotesis - varianza

1 Comprendiendo la Estadística

Hipótesis sobre la varianza
9.1 INTRODUCCION
En situaciones como la del control estadístico de calidad, de antemano se conocen los parámetros de referencia del proceso bajo control. La actividad central para decidir si en un momento dado, el proceso está bajo control o no, es la confrontación permanente de los datos obtenidos con las hipótesis sobre lacentralidad del proceso (media ) y sobre la magnitud de su variabilidad (varianza). Por esta razón desarrollaremos una sección que se ocupe de resolver la contrastación de una hipótesis que confronta un valor particular de la varianza contra los datos obtenidos del proceso, con el propósito de calcular un valor P, o equivalentemente, determinar una franja de confianza, con base en la cual puedan tomarsedecisiones al respecto. Tuvimos la oportunidad de percibir la importancia de la comparación de dos varianzas poblacionales. En la sección de comparación de medias, la situación llegó a ser tan crítica, que dependiendo de si podía considerarse que dos varianzas eran iguales, se disponía o no de un instrumento para contrastar las hipótesis sobre igualdad de medias. El famoso problema deBehrens-Fisher, es un ejemplo de ello. En otras ocasiones estamos interesados en decidir entre dos procesos o tratamientos que producen artículos con la misma media de cierta característica de interés. Un criterio plausible será seleccionar aquel que tenga menor varianza. Surgiendo así la necesidad de la comparación de las varianzas de los procedimientos. Estas son razones mas que suficientes para estar muyinteresados en conocer algunos instrumentos que nos permitan tomar posición frente a situaciones donde la variabilidad es un factor determinante.

9.1.1 Estimación y Contraste de Hipótesis sobre la varianza σ 2 de una población. (Población Normal).
Desarrollemos esta prueba con base en un ejemplo de control estadístico de calidad. 1
Roberto Behar robehar@pino.univalle.edu.co

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EJEMPLO 9.1-1 (Producción de salchichas) Se sabe que un proceso de producción de salchichas debe garantizar 2 un peso promedio por unidad de µ = 45 gramos, y una varianza σ = 4 gramos. En forma periódica se toma una muestra de 16 salchichas y se pesa cada una de ellas para controlar la variabilidad del proceso. En uno de los controles se obtiene los siguientes datos en gramos:46.2 47.5 43.6 43.7 45.2 41.6 42.2 47.8 44.3 46.4 44.0 41.8 S = 2.8 51.7 49.0 47.8 44.2
S = 7.84
2

X = 45.4

La hipótesis que deseamos contrastar es: Η0 : σ 2= 4

contra

Η1 : σ > 4
2

Recordemos que

(n − 1)S 2
σ
2

2 ~ χ n−1

Chi - cuadrado con (n -1) g.l

La región de rechazo es de la forma ℜ ={ S 2 >c}. Por lo tanto:
Valor P = P S 2 > 7.84 / Η 0 = P S 2 > 7.84 / σ 2 = 4(

)

(

)

 (n − 1)S 2 (16 − 1)7.84  Valor P = P >  σ2  4
2 Valor P = P(χ 15 > 29.4) = 0.55

Este valor P tan alto, no constituye evidencia para rechazar la hipóte2 sis nula Η 0 σ =4. Por lo tanto asumimos que el proceso está bajo control en lo que a su varianza se refiere.

2
Roberto Behar robehar@pino.univalle.edu.co

3 Comprendiendo la Estadística
COMENTARIOS- 1

♣Recuerde que estamos suponiendo que la distribución del peso de
las salchichas es Normal. Exploremos este supuesto, observando el histograma.

7 6 Frecuencia 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Peso de una salchicha (Estandarizado)

Gráfico 9.1-1. Distribución del peso estandarizado de salchichas, comparada con la correspondiente distribución normal estándar.

Recuerde que usted puede contrastarla hipótesis de normalidad, usando las herramientas desarrolladas en el capítulo anterior.

9.1.2 Contraste de hipótesis sobre la comparación de las varianzas σ 12 y σ 2 2 de dos poblaciones.
Desarrollemos este tema usando los datos del ejemplo 6.6-2
EJEMPLO 9.1-2

En el ejemplo 6.6-2 se tomaron mediciones de oxigeno disuelto “Antes” y después de la implementación de un proyecto para...