Historia Calculo

HISTORIA DEL CALCULO |
|


Historia del cálculo
1. ¿Qué tipo de problemas de la geometría griega se revivieron en el siglo XVII y motivaron la invención del cálculo?
Varios tipos de problemas se planteaban sobre las curvas. Aunque la clasificación existente en aquel momento era mas amplia.
* El problema de las tangentes: Es el problema de hallar la ecuación de la tangente a unacurva dada, en un punto.
* Problemas de máximos y mínimos: se trata de hallar el máximo y el mínimo de una función dada.
* Problemas de integración: Son los problemas de determinar longitudes de curvas, áreas encerradas por curvas, cancroides, etc. Y también problemas dinámicos, como hallar el espacio recorrido por un móvil conocida la expresión de su velocidad, o el espacio recorrido porun cuerpo sometido a la atracción gravitatoria
* Cuadrar una curva, esto es calcular la medida o el área que encierra una curva cerrada o la parte del plano que se encuentra entre dos curvas que se cortan o el área que se encuentra bajo una curva en un intervalo determinado
* Cálculo del volumen engendrado por una curva al girar alrededor de un eje.
* Rectificar curvas, esto es,calcular la longitud de un arco de curva entre dos puntos cualesquiera de la misma.
*
2. ¿Que concepción de curva tiene Newton y cuál es la de Leibniz?
Newton imaginaba una curva como una ecuación f(x; y) = 0, donde x e y eran funciones del tiempo; es decir, parte de la imagen cinemática de curva como trayectoria de un móvil. La Velocidad en cada punto tenia como componentes las velocidadessegún las direcciones de los ejes, x e y; funciones que el denominaba fluxiones. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto calculaba el cociente y=x. Seguidamente se propuso el problema inverso: conocido el cociente f(x) = y=x, > como hallar y en función de x. Newton estudio casos particulares de la función f y de las variables que en ella intervienen. Es lo que hoyse conoce como resolución de ecuaciones diferenciales o anti diferenciación.

Entiende la integral como el área bajo la curva y esta como limite de innatismos. Además va cambiando la notación continuamente, en busca de la mejor, que es la que hoy en día se usa.
Interpreta la derivada como el cociente de los innatismos dy dx, aunque es incapaz de aclarar que son dichos innatismos.
Al igualque Newton, resuelve en uno solo todos los problemas que estaban abiertos: tangentes, integración y máximos y mínimos. Además es consciente de que el calculo innitesimal es una Ruptura con todo lo precedente, en el sentido de que es un paso adelante sin retorno.

Por esa razón la integral de Newton es originalmente indenida, mientras que la de Leibniz es definida. Por supuesto que, al final, amboscalculan áreas buscando primitivas
Leibniz aplico a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Para esto tomaremos un ejemplo de uno de sus escritos:
Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1,y2,y3,,, yn

Si suponemos que la distancia entreestas ordenadas es 1, entonces su suma y1+y2+y3+ +yn es una aproximación de la cuadratura de
la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas YI’s da aproximadamente la pendiente de su tangente. Además, cuanto más pequeña sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente pequeña, entonces las aproximaciones serían exactas, la cuadratura seríaigual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de ordenadas. De
esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes son operaciones inversas la una de la otra.
Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimal de...