Historia De La Matemática

Páginas: 6 (1332 palabras) Publicado: 3 de agosto de 2012
Las construcciones de los números reales

POR MANUEL LOPEZ PELLICER *

1. Introducción Vamos a exponer las construcciones de los números reales hechas en el siglo XIX. Primero expondremos sus antecedentes en álgebra y en análisis, analizando la relación entre la aritmetización del análisis y el desarrollo del número real. También consideraremos otros antecedentes relacionados con algúnaspecto de la física matemática. Incluimos en los antecedentes las construcciones dadas por Ohm (1829), Bolzano (1835) y Hamilton (1833 y 1835) por tratarse de inicios de construcciones, con algunos fallos de rigor. Las construcciones que detallaremos serán las de Dedekind, Weierstrass, Méray y Cantor, también llamada de Cantor-Heine, hechas en la segunda mitad del siglo XIX, y procuraremos serrespetuosos con las notaciones matemáticas de esa época, si bien ese respeto histórico lo subordinaremos al intento de conseguir una exposición lo más clara posible. Finalmente expondremos algunos resultados obtenidos después de esas construcciones y alguna nota biográfica. 2. Antecedentes de las construcciones del número real 2.1 Antecedentes en álgebra La densidad de los racionales en R pudo hacerpensar en la antigüedad que la abcisa de cualquier punto era racional, y así en el papyrus Rhind, 1650 años antes de Cristo, se escribe K = 3,16. Este error conlleva otro en el mismo documento: el que se proponga la construcción de un cuadrado de lado 8/9 del diámetro de un círculo como solución al problema de su cuadratura, consistente en la construcción con regla y compás de un cuadrado de área iguala la de un círculo dado. La regla, el compás y el teorema de Pitágoras permitieron dibujar un punto de abcisa V2 , que no es racional. Así nacieron los números irracionales. En 1683 hay un intento de Tschirnhaus de expresar por radicales las raíces de un polinomio P (x) con coeficientes enteros que pudo ser motivado
* Académico Correspondiente.

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por la creencia de que las abcisas de lospuntos de una recta serían racionales o irracionales expresables por radicales, pues eran muy pocos los números utilizados que no tuviesen representación racional o por radicales. Uno era 7 y otro el número e introducido por Navier en 1614, C de los que no se sabía si eran racionales o irracionales. Euler prueba en 1737 que e^ e son irracionales aproximándolos por fracciones continuas y establecela fórmula e^^--\, por la cual desde entonces el estudio de los dos números lí^ e está estrechamente relacionado. Y así Lambert, con las mismas técnicas de Euler, prueba en 1761 la irracionalidad de 71, de e^ y de tgx para todo número racional x distinto de cero. Los intentos de expresar las raíces de polinomios por radicales continúan con Bezout, quien en 1762 escribe una raíz ade P (x) = O enla forma a = A i p+A 2 p +...+ A /j- r p"~ ^ donde p es una raíz n-ésima de la unidad distinta de 1, que, por tanto, verifica la relación 1+ p-r p^ + ...+ p'^"^ = 0. La eliminación de p entre las dos igualdades da un polinomio en a cuyos coeficientes son polinomios en A 1, A 2,..., A n-1 que se igualan a los coeficientes de P (z) = 0. Una nueva eliminación conduce a una ecuación para determinar losA / que tiene grado 24 cuando P {x) tiene grado 5. Entre 1770 y 1772 aparecen tres trabajos independientes de Waring, Lagrange y Vandermonde que contienen un estudio sistemático de los métodos de resolución de ecuaciones de grado menor o igual a 4, y de las dificultades encontradas en la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5. Recordemos que la fórmula que da las tres raíces de laecuación de tercer grado x + px + g = O, parece introducir raíces parásitas, pues viene dada por la suma de dos radicales cúbicos, dificultad que se elimina teniendo presente que el producto de los radicales debe ser -p/B. Lagrange observa que esos radicales se pueden escribir en la forma (xi + CÔX2 + C X3 ) / 3 , donde x\,X2 y x^ son las tres raíces de la O ecuación y co es una raíz cúbica de la...
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