Historia de las derivadas

Historia de las Derivadas
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométricoque le dieron origen:
• El problema de la tangente a una curva
• El Teorema de los extremos: máximos y mínimos.
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar uncamino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados porsus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicóa reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» con el tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigaciónconservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral .

Introducción geométrica a las derivadas

Supongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de esotra función que llamaremos .
Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
En términos geométricos, esta pendiente es la inclinación de la línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráfica de

Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto máscercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.
Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la funciónen ese punto crece (o decrece) muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en ese punto.
Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento (o decrecimiento) en un punto de una función está dado por .
No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber avarios motivos.

Por ejemplo:

Hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente. También se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua. Incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos...