HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin ensí mismo. Ya Newton (los creadores del cálculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observó que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio). Los matemáticos de laépoca con frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante. En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferencialesson funciones de elementos del triangulo característico. En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria.
Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens probó que esto no era correcto. En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron solucionesindependientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica: Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea  la densidad del cable. Sea y =y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otraspalabras, y0(0) = 0).La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entreotras cosas. La etapa siguiente (1820) fue una etapa deformalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857);los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.
 A continuación encontramos algunos autores que hicieron aportes valiosos a las ecuaciones diferenciales:
Niels Abel
El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuacionesintegrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinomiales de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel


Daniel Bernoulli
El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).
Jacques Bernoulli
Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, haceaportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria)
Jean Bernoulli
Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problematautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques).Introdujo la idea del factor integrante.
Friedrich Bessel
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817estudió el trabajo de Kepler.
Augustin Cauchy
El francés Augustin Louis Cauchy...